分配上半格

在序理论中，分配并半格（英語：distributive join-semilattice）和分配交半格（distributive meet-semilattice）是分配格到半格的推广。与分配格不同，分配并（交）半格不再是使用像分配律一样的恒等式来定义，而通过恒等式定义实际上也是不可能做到的。

定义

对于并半格$(S,\vee )$（任两元具有上确界$a\vee b$的偏序集），以下条件等价，满足此条件的并半格称为分配并半格。

• 对于任意$a,b,c\in S$，如果$c\leq a\wedge b$，那么存在$a'\leq a$和$b'\leq b$使得$c=a'\wedge b'$。
• $S$的序理想构成的并半格$\operatorname {Ideal} (L)$是分配格。

对偶地可以定义分配交半格。

性质

在分配并半格中，任意两个元素都有下界。

与分配格不同，分配并半格的类不关于子代数封闭，从而不构成簇。其实，任何由并半格构成的簇都不能推广分配格到并半格，也就是不能使其对于格的情形与分配格一致。

例

对于格$(L,\vee ,\wedge )$，以下条件等价。

• 并半格$(L,\vee )$是分配并半格。
• 格$(L,\vee ,\wedge )$是分配格。