嘉當矩陣

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在數學中,嘉當矩陣是由法國數學家埃利·嘉當引入的一類特別矩陣,最大的應用在於李代數的分類理論。在有限維代數的表示理論中,嘉當矩陣另有其它意義。

李代數[编辑]

所謂廣義嘉當矩陣是具有下述性質的方陣

  1. 各項皆為整數:
  2. 對角線上的項等於二:
  3. 非對角線項非正:
  4. 存在正對角方陣 使 可以寫成 ,其中 是對稱方陣。

第四個條件可由第一及第五個條件導出。在第五個條件中,若可取 為正定,則稱 嘉當矩陣

若兩個嘉當矩陣差一個排列矩陣的共軛:,則稱兩者同構。若一嘉當矩陣同構於分塊對角的嘉當矩陣,則稱之為可化的,反之則稱為不可化

由半單李代數可以得到根系,對應的廣義嘉當矩陣定義為

其中 是選定的單根。單李代數對應於不可化嘉當矩陣。

不可化嘉當矩陣可透過連通丹金圖分類。具體方式是取 個頂點(n 為嘉當矩陣 的階數),將頂點 條邊相連。定義每個頂點的權 使得 ,若兩個相鄰頂點 的權不同,則規定邊從權大者指向小者。這套模式類似於從根系定義丹金圖的手法。

有限維代數的表示理論[编辑]

對於域 上的有限維結合代數 ,考慮不可約、-有限維左 -模 ,對每個 ,存在唯一的不可分解左射影模 (至多差一個同構),使得 。取 合成列中作為合成因子的重數。方陣 稱為 的嘉當矩陣。

參考資料[编辑]