四頂點定理

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四頂點定理微分幾何關於平面曲線的整體性質的定理。這定理指出,一條簡單閉曲線曲率函數,如果不是常值,便有至少四個局部極值。更確切地說,這函數有至少兩個局部極大值和兩個局部極小值。

1909年斯亞馬達斯·穆科帕迪亞亞最先證明這定理對凸曲線(即有嚴格正曲率)成立。他的證明用到了以下結果:曲線上一點的曲率是極值,當且僅當在該點的密切圓與曲線有4點切觸。(密切圓與曲線一般只有3點切觸。)1912年阿道夫·克內澤爾證明了定理在一般情況成立。

四頂點定理的逆定理指,在圓上定義任意連續實值函數,使得有兩個局部極大值和兩個局部極小值,那麼這函數是一條簡單平面閉曲線的曲率函數。1971年赫爾曼·格盧克證出嚴格正函數的情形。他證明在n維球面預先定義曲率的更一般定理,以上結果是其特例。比約恩·達爾貝里在他1998年1月去世前不久,證明逆定理的完整版本。他的證法用到卷繞數,類似代數基本定理的拓撲證明。

這定理的一個推論是,任何在平面上滾動受重力作用的均勻板,都有至少四個平衡點。它的三維推廣並不容易,實際上,存在少於四個平衡點的三維凸均勻體,見Gömböc

參考[编辑]

  • Mukhopadhyaya, S. (1909). "New methods in the geometry of a plane arc". Bull. Calcutta Math. Soc. 1: 21-27.
  • Kneser, Adolf (1912). "Bemerkungen uber die Anzahl der Extrema des Krummung auf geschlossenen Kurven und uber verwandte Fragen in einer nicht eucklidischen Geometrie". Festschrift Heinrich Weber: 170-180, Teubner.
  • Gluck, Herman (1971). "The converse to the four-vertex theorem". L'Enseignement Math. 17: 295-309.
  • Dahlberg, Björn (2005). "The converse of the four vertex theorem". Proc. Amer. Math. Soc. 133 (7): 2131-2135.