容度

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

數學中,容度位勢論裡描述一個集合大小的概念。

定義[编辑]

一如測度之於測度論,容度在某種意義下描述一個集合的大小。容度出現在許多數學領域中,特別是逼近理論複分析。它的起源則與靜電學中電容的概念有關。

對於 \mathbb{R}^n \;(n \geq 2) 上一個有限且帶緊支集的博雷尔测度 μ ,可以抽象地定義相應的位勢函數

p_{\mu}(z)=\int \frac{\mathrm d\mu(w)}{|z-w|^{n-2}}

這裡的 μ 在物理上可以想像成一個 n 維世界裡的電荷分佈——至少在 n=3 時吻合靜電學。μ 的能量則抽象地定義為位勢的總和:

I(\mu)=\iint |z-w|^{n-2}\;\mathrm d\mu(w)\;\mathrm d\mu(z)

當 n=2 時,兩個定義中的 |z-w|^{n-2} 都改取 \log |z-w|

K \subset \mathbb{R}^n緊集,其容度定義作

C(K) := \dfrac{1}{\inf_\mu I(\mu)}
其中的下確界取遍支集在 K 上的所有博雷尔機率測度 μ。

二維情形[编辑]

在一個黎曼曲面 M 上給定一點 p。若存在一個以 p 為極點的格林函數,則它在 p 點的一個夠小開鄰域 Ω 上有唯一表法

g_p(x) = \log |x-p| + h_p(x)

其中 h_p\Omega - \{p\} 上的調和函數

此時 \lim_{x \rightarrow p} h_p(x) 決定 M-\Omega 的容度。這些量能用來分類黎曼曲面。根據 M曲率,可以用雙曲距離或球面距離取代上述定義中的歐氏距離 d(z,w) = |z-w|,由此可得到雙曲容量與球面容度(或稱橢圓容度)。

文獻[编辑]