容度

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數學中,容度位勢論裡描述一個集合大小的概念。

定義[编辑]

一如測度之於測度論,容度在某種意義下描述一個集合的大小。容度出現在許多數學領域中,特別是逼近理論複分析。它的起源則與靜電學中電容的概念有關。

對於 上一個有限且帶緊支集的博雷尔测度 μ ,可以抽象地定義相應的位勢函數

這裡的 μ 在物理上可以想像成一個 維世界裡的電荷分佈——至少在 時吻合靜電學。μ 的能量則抽象地定義為位勢的總和:

當 n=2 時,兩個定義中的 都改取

緊集,其容度定義作

其中的下確界取遍支集在 上的所有博雷尔機率測度 μ。

二維情形[编辑]

在一個黎曼曲面 M 上給定一點 。若存在一個以 為極點的格林函數,則它在 點的一個夠小開鄰域 Ω 上有唯一表法

其中 上的調和函數

此時 決定 的容度。這些量能用來分類黎曼曲面。根據 曲率,可以用雙曲距離或球面距離取代上述定義中的歐氏距離 ,由此可得到雙曲容量與球面容度(或稱橢圓容度)。

文獻[编辑]