打靶法

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打靶法(英語:Shooting method)是数值分析中在求解边界值问题時,将解归约为求解數個初值问题的方法。下面的讨论在打靶法的解释中有详细注释。

对于一个二阶常微分方程的边界值问题,该方法表述如下: 令

为边界值问题。 令 y(t1; a) 代表下列初值问题的一个解

定义函数F(a)为y(t1; a)和给定边界值y1的差

若边界值问题有解,则F有一个根,而这个根就是y'(t0)的给出边界问题解y(t)的取值。

上述問題的求解可以采用通常的求根方法,例如二分法或者牛顿法

线性打靶法[编辑]

边界值问题是线性的,若f形为

这个情况下,边界值问题的解通常给出为

其中是下面的初值问题的一个解

是下面的初值问题的解:

结果成立的精确条件请参看证明

例子[编辑]

Stoer及Burlisch曾提出一個如下的边界值问题(Section 7.3.1)

以下的初值問題

s = −1, −2, −3, ..., −100等條件下求解,且令F(s) = w(1;s) − 1,其圖形繪製在第一圖中,根據圖中可知,其解接近−8及−36。 第二圖繪出一些w(t;s)的軌跡。

初值問題的解是由LSODE演算法計算,利用數學軟體GNU Octave實現。

Stoer及Bulirsch列出有二個解,可以用代數法求解。 對應初始條件約w′(0) = −8及 and w′(0) = −35.9時的值。

F(s) = w(1;s) − 1.
w(t;s)的軌跡,s = w'(0)等於−7, −8, −10, −36及−40(顏色分別是紅、綠、藍、淺藍、洋紅),(1,1)有繪製一紅色的菱形。


参考[编辑]

  • Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 7.3.)