施尼勒尔曼密度

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中不大於的元素的數目。施尼勒尔曼密度函數,或的施尼勒尔曼密度定義為:

其中inf表示最大下界。若使用(如自然密度),可能不存在極限,施尼勒尔曼密度的其中一個好處在於它總是有值的。

性質[编辑]

  • .
特別地

感覺上,奇數的數量似乎比偶數一樣「多」。可是,偶數的施尼勒尔曼密度是0,而奇數的是1/2。施尼勒尔曼密度對於起始值十分敏感。究竟,這樣的函數有甚麼用途?

Mann定理[编辑]

拉格朗日四平方和定理可以寫成,其中表示和集

顯然,,另外也有\sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 0。那麼施尼勒尔曼密度1是怎樣得來的呢?原來。儘管只有一、兩個平方數集的和集的密度都是0,但之後和集的施尼勒尔曼密度會慢慢增加。

施尼勒尔曼指出:

Mann證明了更強的條件: