施尼勒爾曼密度

設集合$A\subseteq \mathbb {Z}$，$A(n)=|A\cap \{1,2,\ldots ,n\}|$，$A$中不大於$n$的元素的數目。施尼勒爾曼密度函數$\sigma :{\mathcal {P}}(\mathbb {Z} )\to [0,1]$，或$A$的施尼勒爾曼密度定義為：

$\inf _{n}{\frac {A_{n}}{n}}$

其中inf表示最大下界。若使用$\lim _{n\to \infty }{\frac {A(n)}{n}}$（如自然密度），可能不存在極限，施尼勒爾曼密度的其中一個好處在於它總是有值的。

性質

• $0\leq \sigma A\leq 1$
• $\forall n\ A(n)\geq n\sigma A$
• $\sigma A=1\leftrightarrow A=\mathbb {N}$
• $\forall k\ k\notin A\rightarrow \sigma A\leq 1-1/k$.

特別地

$1\notin A\rightarrow \sigma A=0$

$2\notin A\rightarrow \sigma A\leq 1/2$

• $\sigma A=0\rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n\ A(n)<\epsilon n$

Mann定理

設${\mathfrak {G}}^{2}=\{k^{2}\}_{k=1}^{\infty }$，拉格朗日四平方和定理可以寫成$\sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=1$，其中$A\oplus B$表示$A$和$B$的和集。

顯然，$\sigma {\mathfrak {G}}^{2}=0$，另外也有$\sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=0$。那麼施尼勒爾曼密度1是怎樣得來的呢？原來$\sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=5/6$。儘管只有一、兩個平方數集的和集的密度都是0，但之後和集的施尼勒爾曼密度會慢慢增加。

施尼勒爾曼指出：

$\sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B$

Mann證明了更強的條件：

$\sigma (A\oplus B)\geq \min(\sigma A+\sigma B,1)$