条件熵

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信息论中,条件熵描述了在已知第二个随机变量 的值的前提下,随机变量 的信息熵还有多少。同其它的信息熵一样,条件熵也用Sh、nat、Hart等信息单位表示。基于 條件的 的信息熵,用 表示。

定义[编辑]

如果 爲變數 在變數 取特定值 條件下的熵,那麼 就是 取遍所有可能的 後取平均的結果。

给定随机变量 ,定義域分別爲 ,在給定 條件下 的條件熵定義爲:[1]

注意: 可以理解,對於確定的 c>0,表達式 0 log 0 和 0 log (c/0) 應被認作等於零。

當且僅當 的值完全由 確定時,。相反,當且僅當 獨立隨機變數

链式法则[编辑]

假設兩個隨機變數 XY 確定的組合系統的聯合熵,即我們需要 bit的信息來描述它的確切狀態。 現在,若我們先學習 的值,我們得到了 bits的信息。 一旦知道了 ,我們衹需 bits來描述整個系統的狀態。 這個量正是 ,它給出了條件熵的链式法则

链式法则接著上面條件熵的定義:

貝葉斯規則[编辑]

條件熵的貝葉斯規則英语Bayes' rule表述爲

證明. and 。對稱性意味著 。將兩式相減即爲貝葉斯規則。

推广到量子理论[编辑]

量子信息论中,条件熵都概括为量子条件熵

參考文獻[编辑]

  1. ^ Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. Elements of information theory 1st. New York: Wiley. 1991. ISBN 0-471-06259-6.