極值長度

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數學上,共形擬共形映射的理論中,一個曲線極值長度的一個共形不變量。確切來說,設 複平面中的開集,中的路徑族,是一個共形映射。那麼的極值長度等於 下的的極值長度。因此極值長度是研究共形映射的有用工具。

極值長度的定義[编辑]

複平面中的開集。設是在中的可求長曲線族。博雷爾可測函數。對任意可求長曲線,設

表示長度,其中表示歐氏線元。(可能有。)又設

面積定義為

極值長度定義為

其中最小上界是取自所有滿足的博雷爾可測函數。若包含了不可求長曲線,將中可求長曲線的子集記為 ,則 定義為

中的兩個集合在中的極值距離,是在中兩個端點分別在這兩個集合的曲線族的極值長度。

參考[编辑]