波莱尔-坎泰利引理

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波莱尔-坎泰利引理概率论中的一个基本结论。大致上,波莱尔-坎泰利引理说明了,如果有无穷概率事件,它们发生的概率之和是有限的,那么其中的无限多个事件一同发生的概率是零。这个定理实际上是测度论的结论在概率论中的应用,得名于数学家埃米尔·波莱尔弗朗西斯科·保罗·坎泰利

概率空间中的定理[编辑]

为某个概率空间中的一个事件序列。波莱尔-坎泰利引理说明: 如果所有的事件发生的概率的总和是有限的,

那么它们之中有无限多个同时发生的概率等于零:

其中的是指一个事件序列的上极限。由于每一个事件都是若干个可能结果的集合,所以就是指序列里面有无限多个事件一起发生。准确来说,

证明[编辑]

设(En)是某个概率空间里的一系列事件。假设这些事件发生的概率之和是有限的:

这等价于说,正项无穷级数收敛。所以,根据无穷级数的性质,级数的余项的下极限是0:

因此,

[1]

推广[编辑]

对于更一般的概率空间,波莱尔-坎泰利引理可以叙述如下:

设μ是一个集合X上的测度,装备了σ-代数F。设(An)为F中的一个序列。如果:
那么,

参考来源[编辑]

  • Prokhorov, A.V., Borel–Cantelli lemma, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Feller William, An Introduction to Probability Theory and Its Application, John Wiley & Sons, 1961 .
  • Stein Elias, Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press, 1993 .
  • Bruss, F. Thomas, A counterpart of the Borel Cantelli Lemma, J. Appl. Prob., 1980, 17: 1094–1101 .
  • Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.