波萊爾-坎泰利引理是概率論中的一個基本結論。大致上,波萊爾-坎泰利引理說明了,如果有無窮個概率事件,它們發生的概率之和是有限的,那麼其中的無限多個事件一同發生的概率是零。這個定理實際上是測度論的結論在概率論中的應用,得名於數學家埃米爾·波萊爾與弗朗西斯科·保羅·坎泰利。
概率空間中的定理[編輯]
設
為某個概率空間中的一個事件序列。波萊爾-坎泰利引理說明:
如果所有的事件
發生的概率
的總和是有限的,
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151af2de1ca0cdf08bd4a8f454788ca594a912eb)
那麼它們之中有無限多個同時發生的概率等於零:
![{\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0958e7dcb298849d77713e20720ba6e2b4b3274)
其中的
是指一個事件序列的上極限。由於每一個事件都是若干個可能結果的集合,所以
就是指使得序列
裡面有無限多個事件一起發生的結果(outcome,或稱樣本輸出)
的集合。準確來說,
。
設(En)是某個概率空間里的一系列事件。假設這些事件發生的概率之和是有限的:
。
這等價於說,正項無窮級數
收斂。所以,根據無窮級數的性質,級數的餘項
的下極限是0:
![{\displaystyle \inf _{N\geq 1}\sum _{n=N}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34762a7a52210bce6805a3bd61d54189326f05f0)
因此,
[1]
對於更一般的概率空間,波萊爾-坎泰利引理可以敘述如下:
- 設μ是一個集合X上的測度,裝備了σ-代數F。設(An)為F中的一個序列。如果:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2977714820ecda6ab1ab14283c3b44a1d675194c)
- 那麼,
![{\displaystyle \mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ff419a38c513b3fa99a84c43ea903f30ca888e)
參考來源[編輯]
- Prokhorov, A.V., Borel–Cantelli lemma, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Feller William, An Introduction to Probability Theory and Its Application, John Wiley & Sons, 1961 .
- Stein Elias, Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press, 1993 .
- Bruss, F. Thomas, A counterpart of the Borel Cantelli Lemma, J. Appl. Prob., 1980, 17: 1094–1101 .
- Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.