泽尔尼克多项式

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头15个泽尔尼克多项式


20个泽尔尼克多项式 以Noll序列表示

泽尔尼克多项式是一个以1953年获诺贝尔物理学奖荷兰物理学家弗里茨·泽尔尼克命名的正交多项式,分为奇、偶两类

奇多项式:

偶多项式


其中 为非负整数,

方位角

 为径向距离

如果 n-m为偶数则


如果n-m为奇数,则

泽尔尼克多项式的超几何函数表示[编辑]

泽尔尼克多项式也可以表示为超几何函数


Noll 序列[编辑]

Noll 用一个J数字表示 [n,m]:如下表

n,m 0,0 1,1 1,−1 2,0 2,−2 2,2 3,−1 3,1 3,−3 3,3
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n,m 4,0 4,2 4,−2 4,4 4,−4 5,1 5,−1 5,3 5,−3 5,5
j 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

泽尔尼克多项式[编辑]

由于

其中因j而异,

必须先归一化

使得


归一化泽尔尼克多项式以Noll序列排列如下:

Noll index () Radial degree () Azimuthal degree () Classical name
1 0 0 Piston
2 1 1 Tip (lateral position) (X-Tilt)
3 1 −1 Tilt (lateral position) (Y-Tilt)
4 2 0 Defocus (longitudinal position)
5 2 −2 Astigmatism
6 2 2 Astigmatism
7 3 −1 Coma
8 3 1 Coma
9 3 −3 Trefoil
10 3 3 Trefoil
11 4 0 Third-order spherical
12 4 2
13 4 −2
14 4 4
15 4 −4

正交性[编辑]

径向正交性
角度正交性

其中 称为Neumann因子,其数值为 2 如果满足 ,数值为 1,如果 .

径向与角度正交性

其中 为 雅可比矩阵

都是偶数.


参考文献[编辑]