测地曲率

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测地曲率:设P是曲線(C)上一点,是(C)在P点的单位切向量,是主法向量,是副法向量。再设n是曲面S在P点的单位法向量。命

曲线(C)在P点的曲率向量上的投影(也就是在S上P点的切平面上的投影)

称为曲线(C)在P点的测地曲率。


相关命题[编辑]

  • 曲面S上的曲线(C),它在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C')的曲率。

式中,k为曲线在P点的曲率,为曲线在P点的法曲率

二維曲面常用的測地曲率公式[编辑]

今有一緊緻定向的二維曲面S,其線元素可用曲面第一基本形式的係數表示為:,則其度量張量可表成下列關係式:

每當進行涉及到微分幾何的實用演算時,都會用到其分量形式以利細部計算,因此有必要將前述向量形式定義的測地曲率以其分量形式來表徵,以下將界定在二維曲面上局部範圍,有關公式及其推導過程,可於列出的相關參考文獻中找到。

二維曲面測地曲率之Beltrami公式[编辑]

為曲面S上的一正則曲線,在此曲線上以其弧長為參數,則曲線的參數方程式為,則它在P點的測地曲率可表為下列克氏符號(全稱克里斯多福符號Christoffel symbols)相關的表示式[1] [2] [3]

上述用克式符號表示測地曲率的一般公式即是所謂的Beltrami公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)[4]。這裡所用的克氏符號 Γk
ij
在有些書籍還會沿用舊式的 {k
ij
}
符號注記。由於克式符號屬曲面的內蘊性質,而上述測地曲率一般公式只和克式符號曲面第一基本形式有關,因此,測地曲率必然是屬曲面的內蘊幾何[5]

今若曲線是沿著座標線的話,此時常數,使得以及,那麼其測地曲率可算得為:

同理,假如曲線是沿著座標線的話,使得常數,因此以及,那麼其測地曲率可化簡為:

二維曲面測地曲率之Liouville公式[编辑]

為曲面S上的一正則曲線,在此曲線上以其弧長為參數,則曲線的參數方程式為,今其參數化是採正交座標系,換言之,第一基本形式的係數,又令曲線在P點與座標線的夾角為,則它在P點的測地曲率可表為下列與夾角相關的Liouville公式[6] [7] [8]


上述公式中的乃分屬於兩個座標線對應的測地曲率,至於它們的具體表徵是什麼,接下來將分別推導出其詳細內容。首先,考量如若曲線是沿著座標線的話,此時常數,則有以及,那麼該測地曲率可算得為:

同理,假如曲線是沿著座標線的話,此時常數,導致以及,那麼此測地曲率可算得為:

以上測地曲率之Liouville公式就已列出有三種,若覺得怎麼會有這麼多樣形式,其實還有其他變形,例如可參考網路上更加精簡且優美的形式[9],這端賴解析問題時,需要配套什麼形式的公式而定。



參考文獻[编辑]

  1. ^ Kreyszig, Erwin. Differential Geometry. Dover Publications, New York. 1991: 154-156. ISBN 978-0-486-66721-8. 
  2. ^ Patrikalakis, Nicholas M.; Maekawa, Takashi. Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing. Springer, New York. 2002: 266-268. ISBN 978-3-642-04073-3. 【推導過程見MIT線上開放課程 §10.2.1. Parametric surfaces】
  3. ^ Blaga, Paul A. Lectures on the Differential Geometry of Curves and Surfaces. Napoca Press, Cluj-Napoca, Romania. 2005: 177-179. ISBN 9736568962. 
  4. ^ Nayak, Prasun Kumar. Textbook of Tensor Calculus and Differential Geometry. PHI Learning Pvt. Ltd., New Delhi. 2011: 364,369. 
  5. ^ Slobodyan, Yu.S., Geodesic curvature, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 1989, ISBN 978-1-55608-010-4 
  6. ^ do Carmo, Manfredo P. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall. 1976: 253-254. ISBN 0-13-212589-7. 
  7. ^ Gray, Alfred; Abbena, Elsa; Salamon, Simon. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition. Chapman & Hall/CRC. 2006: 904-905. ISBN 978-1584884484. 
  8. ^ Dube, K.K. Differential Geometry and Tensors. I. K. International Pvt Ltd. 2009: 200-201. ISBN 978-9380026589. 
  9. ^ Sigurd Angenent. A note and two problems on Liouville's formula. 這是介紹測地曲率之Liouville公式更加精簡形式的文件。