海涅-康托尔定理

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海涅-康托尔定理,以爱德华·海涅乔治·康托尔命名,说明如果M是一个度量空间,则每一个连续函数

f : M → N,

其中N是度量空间,都是一致连续的。

例如,如果f : [a,b] → R是一个连续函数,则它是一致连续的。

证明[编辑]

假设f在紧度量空间M上连续,但不一致连续,则以下命题

,使得对于所有M内的xy,都有

的否定是:

,使得,使得,且

其中d分别是度量空间MN上的距离函数

选择两个序列xnyn,使得:

,且

由于度量空间是紧致的,根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,存在两个收敛的子序列(收敛于x0收敛于y0),因此:

但由于f是连续的,且收敛于相同的点,因此这是不可能的。

外部链接[编辑]