海涅-康托爾定理,以愛德華·海涅和喬治·康托爾命名,說明如果M是一個緊度量空間,N是一個度量空間,則每一個連續函數
- f : M → N,
都是一致連續的。
特別地,如果f : [a,b] → R是一個連續函數,則它是一致連續的。
假設f在緊度量空間M上連續,但不一致連續,則以下命題
,使得對於所有M內的x和y,都有![{\displaystyle d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57af24fd47df623f31f8e752b22471dd70411022)
的否定是:
,使得
,使得
,且
。
其中d和
分別是度量空間M和N上的距離函數。
選擇兩個序列xn和yn,使得:
,且
(*)
由於度量空間是緊緻的,根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理,序列xn存在一個收斂的子序列
,而
,故
和
收斂於相同的點。又因為f是連續的,所以
和
收斂於相同的點,與(*)式矛盾。
[1]
設 f 是從一個緊度量空間 (M,dM) 到一個度量空間 (N,dN) 的連續函數,欲證明 f 是一致連續的。
設給定了
, 於是對
中的每一個點
都存在一個與
有關的
, 使得
![{\displaystyle d_{N}(f(x),f(a))<{\frac {\varepsilon }{2}},\forall x\in B_{M}(a;\delta ){\text{. }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b29d4f340e4dd4de957aeac52625fa867372b94)
考慮由半徑為
的球
構成的集族, 這族球覆蓋
, 而且因為
是緊的, 所以這些球中有有限個也覆蓋
, 比方說
![{\displaystyle M=\bigcup _{k=1}^{m}B_{M}\left(a_{k};{\frac {r_{k}}{2}}\right)\qquad {\text{(*)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b6a865ae151f32e4e2713665fce415eb372942)
在任何一個兩倍半徑的球
中, 我們有
![{\displaystyle d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}},\forall x\in B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right){\text{. }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cbce1f992ee0ac685e29966a0c5569002b9e624)
設
, 欲證明這個
滿足一致連續性定義中的要求.
對
中的兩個點
和
滿足條件
, 由
, 有某個球
包含
, 所以
![{\displaystyle d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4825dcad29c9962d694f665fa2542831b805ff3e)
由三角不等式可得
![{\displaystyle d_{M}\left(y,a_{k}\right)\leqslant d_{M}(y,x)+d_{M}\left(x,a_{k}\right)<\delta +{\frac {r_{k}}{2}}\leqslant {\frac {r_{k}}{2}}+{\frac {r_{k}}{2}}=r_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1535729dff24a1604d77e319070a142c9bcb63b)
因而,
, 所以也有
. 再次使用三角不等式就可以發現
![{\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))\leqslant d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)+d_{N}\left(f\left(a_{k}\right),f(y)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon {\text{.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac95bbbe61cbc925ebb112adad184baf7a5c124)
- ^ 存档副本. [2022-10-16]. (原始內容存檔於2022-10-15).