螺旋曲面

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一個α=1、-1≤ρ≤1、-π≤θ≤π的螺旋曲面

螺旋曲面可視為一個線段沿著垂直於其中點的直線,勻速螺旋上升時掃過的曲面,可視為是螺旋線的立體版本,是在平面懸鏈曲面後,第三個已知的极小曲面

描述[编辑]

螺旋曲面曾在1774年及1776年分別由萊昂哈德·歐拉及Jean Baptiste Meusnier描述過[1],其英文Helicoid可以看出它和螺旋線(helix)之間的相關性:針對螺旋曲面上的每一,都存在一個通過該點的螺旋線,且整條螺旋線都落在螺旋曲面上。若仔細的觀察螺旋曲面,且螺旋曲面夠長的話,會發現若選定一個小區域的曲面,在螺旋曲面的前方及後方至少各會找到一個曲面和原曲面平行。

螺旋曲面也是直紋曲面(及正劈錐曲面英语Right conoid),表示它可以表示為一條直線在指定方式移動及轉動下產生的軌跡。而針對螺旋曲面上的每一點,都存在一條在螺旋曲面上的直點通過該一點。歐仁·查爾斯·加泰蘭英语Eugène Charles Catalan在1842年證明了只有螺旋曲面和平面是同時為直紋曲面及最小曲面的曲面[2]

螺旋曲面和懸鏈曲面是屬於螺旋-懸鏈曲面極小曲面族的成員之一。

螺旋曲面的形成方式類似阿基米德式螺旋抽水機,但在各方面延伸到無限大,可以用以下笛卡儿坐标系下的參數式表示:

其中ρθ範圍由負無限大到正無限大,而α為常數。若α為正值,螺旋曲面為逆時針螺旋,反之則為順時針螺旋。

螺旋曲面的主曲率,其主曲率的和為其平均曲率(數值為零,因此為极小曲面),主曲率的乘積為高斯曲率

螺旋曲面和平面同胚。若要確認這一點,可以將α由原先的數值連續的減到零,在每一個α數值下,都可以找到一個對應的螺旋曲面。當α為零時,螺旋曲面變成一個垂直的平面

若令h為z方向的最大值,而R為半徑,則螺旋曲面的面積為

螺旋曲面和懸鏈曲面[编辑]

動畫說明螺旋曲面如何變化為懸鏈曲面

螺旋曲面和懸鏈曲面是局部等距的曲面。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ A. T. Fomenko. Minimal Surfaces, Stratified Multivarifolds, and the Plateau Problem. American Mathematical Soc. 21 February 1991: 71–. ISBN 978-0-8218-9827-7. 
  2. ^ Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin Contributor A. A. Tuzhilin Published by AMS Bookstore, 1991 ISBN 0-8218-4552-7, ISBN 978-0-8218-4552-3, p. 33

外部連結[编辑]