西尔维斯特矩阵

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西尔维斯特矩阵,是与两个多项式相关的矩阵,从这个矩阵可以知道这两个多项式的一些信息。

定义[编辑]

pq为两个多项式,次数分别为mn。因此:

于是,与pq相关的西尔维斯特矩阵,就是通过以下方法得到的矩阵

  • 第一行为:
  • 第二行是第一行往右移一列;第二行第一列的元素是零。
  • 下面的(n-2)行也是用这种方法得出,每次都往右移一列。
  • 第(n+1)行为:
  • 余下的行仍然是每次都往右移一列。

因此,如果我们设m=4和n=3,则矩阵为:

应用[编辑]

西尔维斯特矩阵用于交换代数中,例如测试两个多项式是否有一个(非常数)公因式。确实,在这种情况下,相关的西尔维斯特矩阵的行列式(称为两个多项式的结式)等于零。反过来也成立。

以下线性方程组的解

其中是大小为的向量,是大小为的向量,由满足下式的多项式对(次数分别为)的系数向量构成:

这就是说,西尔维斯特矩阵的转置的给出了裴蜀方程的所有解,其中

这样,西尔维斯特矩阵的决定了最大公因式的次数:

参考文献[编辑]