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辛矩陣

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數學中,辛矩阵是指一個2n \times 2n矩阵M(通常佈於實數複數域上),使之滿足

M^T \Omega M = \Omega\,

其中M^TM轉置矩陣,而\Omega是一個固定的可逆斜對稱矩陣;這類矩陣在適當的變化後皆能表為

\Omega =
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{bmatrix}

\Omega = \begin{bmatrix}
\begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\
 & \ddots & \\
0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix}
\end{bmatrix}

兩者的差異僅在於基的置換,其中I_nn \times n 單位矩陣。此外,\Omega 行列式值等於一,且其逆矩陣等於-\Omega

性質[编辑]

凡辛矩阵皆可逆,其逆矩陣可表為

M^{-1} = \Omega^{-1} M^T \Omega

此外,辛矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉,因此一個域F上的所有2n階辛矩阵構成一個,記為\mathrm{Sp}(2n,F)。事實上它是\mathrm{GL}(2n,F)的閉代數子群,其維度為n(2n+1)。當F=\mathbb{R},\mathbb{C}時,\mathrm{Sp}(2n,F)帶有自然的(複)李群結構。

由定義可知辛矩阵的行列式等於\pm 1;事實上,可以利用Pfaffian的公式:

\mbox{Pf}(M^T \Omega M) = \det(M)\mbox{Pf}(\Omega)

由於M^T \Omega M = \Omega\mbox{Pf}(\Omega) \neq 0,遂導出det(M) = 1

n=1時,有\mathrm{Sp}(2)=\mathrm{SL}(2)。換言之:二階扭對稱矩陣即行列式等於一的二階矩陣。

扭對稱變換[编辑]

線性代數的抽象框架裡,我們可以用偶數維向量空間V上的線性變換取代偶數階矩陣,並固定一個非退化反對稱雙線性形\omega: V \times V \to F以取代矩陣\Omega(賦有這類雙線性形的空間稱為扭對稱向量空間),如此便得到與基底無關的定義:

定義。一個扭對稱向量空間(V,\omega)上的線性變換L: V \to V若滿足
\omega(Lu, Lv) = \omega(u, v)
則稱L為扭對稱變換。

考慮\eta := \wedge^{\frac{\dim V}{2}} \omega,由於L^* (\omega)=\omega,故L^*(\eta) = \eta;另一方面,L^* (\eta) = (\det L)  \cdot \eta,於是得到\det L = 1。由此導出扭對稱變換之行列式值等於一。

固定V的一組基,藉此將L寫成矩陣M,並將\omega表成斜對稱矩陣\Omega,便回到先前的定義:

M^T \Omega M = \Omega

參見[编辑]

外部連結[编辑]