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辛矩陣

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數學中,辛矩阵是指一個矩阵M(通常佈於實數複數域上),使之滿足

其中轉置矩陣,而是一個固定的可逆斜對稱矩陣;這類矩陣在適當的變化後皆能表為

兩者的差異僅在於基的置換,其中 單位矩陣。此外, 行列式值等於一,且其逆矩陣等於

性質[编辑]

凡辛矩阵皆可逆,其逆矩陣可表為

因此,辛矩陣具有如下運算性質:

,
,
,

此外,辛矩阵構成的集合在矩陣乘法下封閉,因此一個域上的所有階辛矩阵構成一個,記為。事實上它是的閉代數子群,其維度為。當時,帶有自然的(複)李群結構。

由定義可知辛矩阵的行列式等於;事實上,可以利用Pfaffian的公式:

由於,遂導出

時,有。換言之:二階扭對稱矩陣即行列式等於一的二階矩陣。

扭對稱變換[编辑]

線性代數的抽象框架裡,我們可以用偶數維向量空間上的線性變換取代偶數階矩陣,並固定一個非退化反對稱雙線性形以取代矩陣(賦有這類雙線性形的空間稱為扭對稱向量空間),如此便得到與基底無關的定義:

定義。一個扭對稱向量空間上的線性變換若滿足
則稱為扭對稱變換。

考慮,由於,故;另一方面,,於是得到。由此導出扭對稱變換之行列式值等於一。

固定的一組基,藉此將寫成矩陣,並將表成斜對稱矩陣,便回到先前的定義:

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外部連結[编辑]