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正則變換

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用表示;而其大小則用來表示。

哈密頓力學裏,正則變換(canonical transformation)是一種正則坐標的改變,,而同時維持哈密頓方程的形式,雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式刘维尔定理的基礎。

定義[编辑]

點變換point transformation)將廣義坐標變換成廣義坐標,點變換方程式的形式為

其中,時間

哈密頓力學裏,由於廣義坐標與廣義動量同樣地都是自變量independent variable),點變換的定義可以加以延伸,使變換方程式成為

其中,是新的廣義動量。

為了分辨這兩種不同的點變換,稱前一種點變換為位形空間點變換,而後一種為相空間點變換

哈密頓力學裏,正則變換將一組正則坐標變換為一組新的正則坐標,而同時維持哈密頓方程式的形式(稱為形式不變性)。原本的哈密頓方程式為

新的哈密頓方程式為

其中,分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。

實際用處[编辑]

思考一個物理系統的哈密頓量

假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標無關,則稱可略坐標ignorable coordinate),或循環坐標cyclic coordinate):

在哈密頓方程式中,廣義動量對於時間的導數是

所以,廣義動量是常數

假設一個系統裏有個廣義坐標是可略坐標。找出這個可略坐標,則可以使這系統減少個變數;使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。

生成函數方法[编辑]

主項目:正則變換生成函數

採取一種間接的方法,稱為生成函數方法,從變換到。為了要保證正則變換的正確性,第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理

那麼,必須令

其中,標度因子生成函數

假若一個變換涉及標度因子,則稱此變換為標度變換scale transformation)。一般而言,標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1,則稱此正則變換為延伸正則變換extended canonical transformation);假若標度因子等於1,則稱為正則變換

任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個的延伸正則變換表示為

則可以設定另外一組變數與哈密頓量: ;其中,是用來刪除的常數,。經過一番運算,可以得到

(1)

顯然地,這變換符合哈密頓方程式。所以,任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。

假若正則變換不顯性含時間,則稱為設限正則變換restricted canonical transformation)。

生成函數的參數,除了時間以外,一半是舊的正則坐標;另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定,一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換,從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換保證是正則變換。

第一型生成函數[编辑]

第一型生成函數只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關,

代入方程式(1)。展開生成函數對於時間的全導數

新廣義坐標和舊廣義坐標都是自變量,其對於時間的全導數互相無關,所以,以下個方程式都必須成立:

(2)
(3)
(4)

個方程式設定了變換,步驟如下:

第一組的個方程式(2),設定了個函數方程式

在理想情況下,這些方程式可以逆算出個函數方程式

(5)

第二組的個方程式(3),設定了個函數方程式

代入函數方程式(5),可以算出個函數方程式

(6)

個函數方程式(5)、(6),可以逆算出個函數方程式

代入新哈密頓量的方程式(4),可以得到

第二型生成函數[编辑]

第二型生成函數的參數是舊廣義坐標、新廣義動量 與時間:

以下方程式設定了變換

, 

第三型生成函數[编辑]

第三型生成函數 的參數是舊廣義動量、新廣義坐標與時間:

以下方程式設定了變換

第四型生成函數[编辑]

第四型生成函數的參數是舊廣義動量、新廣義動量與時間:

以下方程式設定了變換

實例1[编辑]

第一型生成函數有一個特別簡易案例:

生成函數的導數分別為

舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同:

實例2[编辑]

再擧一個比較複雜的例子。讓

這裏,是一組個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換,

不變量[编辑]

正則變換必須滿足哈密頓方程式不變;哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外,正則變換也有幾個重要的不變量

辛條件[编辑]

辛標記提供了一種既簡單,又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個的豎矩陣 :

變數向量包裝在一起。這樣,哈密頓方程式可以簡易的表示為

這裏,是辛連結矩陣、是哈密頓量。

應用辛標記於正則變換,正則坐標會從舊正則坐標改變成新正則坐標;哈密頓量也從舊的哈密頓量改變成新的哈密頓量;但是,哈密頓方程式的形式仍舊維持不變:

這裏,

用第一型生成函數,則

關於時間的導數,

這裏,亞可比矩陣

代入哈密頓方程式,

 ;

假若限制正則變換為設限正則變換,也就是說,顯性地不含時間,解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間,則仍舊能得到與下述同樣的答案[1],這是一個很好的偏導數習題。現在,限制這正則變換為設限正則變換,則簡化後的方程式為

,所以,

代回前一個方程式,取的係數,則可以得到

經過一番運算,

可以求出辛條件:

在這裏,得到了正則變換的辛條件:一個變換是正則變換,若且唯若辛條件成立。

基本帕松括號不變量[编辑]

相空间裏,兩個函數關於正則坐標帕松括號定義為

用辛標記,

立刻,可以得到下述關係:

定義基本帕松括號為一個方矩陣,其中,元素的值是。那麼,

思考一個變換。新坐標的基本帕松括號為

這兩個正則坐標的亞可比矩陣

代入前一個方程式,則

假若這變換是正則變換,辛條件必須成立,

相反地,假若,則辛條件成立,這變換是正則變換。

所以,一個變換是正則變換,若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時,我們可以忽略下標符號,直接表示為,而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。

帕松括號不變量[编辑]

思考兩個函数對於正則坐標的泊松括號

假若這變換是正則變換,辛條件必須成立,

所以,任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號,都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時,可以忽略下標符號,直接表示為,而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 384. ISBN 0201657023 (English).