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正則變換生成函數

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哈密頓力學裏,當計算正則變換時,生成函數扮演的角色,好似在兩組正則坐標 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ,採取一種間接的方法,稱為生成函數方法。這兩組變數必須符合方程式

(1)

其中, 是舊廣義坐標 是舊廣義動量 是新廣義坐標, 是新廣義動量, 分別為舊哈密頓量與新哈密頓量,生成函數 是時間。

生成函數 的參數,除了時間以外,一半是舊的正則坐標;另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定,一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換,從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 保證是正則變換。

生成函數列表[编辑]

生成函數 導數

第一型生成函數[编辑]

第一型生成函數 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關,

代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的全導數

新廣義坐標 和舊廣義坐標 都是自變量,其對於時間的全導數 互相無關,所以,以下 個方程式都必須成立:

(2)
(3)
(4)

個方程式設定了變換 ,步驟如下:

第一組的 個方程式 (2) ,設定了 個函數方程式

在理想情況下,這些方程式可以逆算出 個函數方程式

(5)

第二組的 個方程式 (3) ,設定了 個函數方程式

代入函數方程式 (5) ,可以算出 個函數方程式

(6)

個函數方程式 (5) 、(6) ,可以逆算出 個函數方程式

代入新哈密頓量 的方程式 (4) ,可以得到

第二型生成函數[编辑]

第二型生成函數 只跟舊廣義坐標 、新廣義動量 有關 :

代入方程式 (1) 。展開生成函數隨時間的全導數:

由於舊廣義坐標 與新廣義動量 必須彼此無關,以下 方程式必須成立:

(7) 
(8)
(9)

個方程式設定了變換 。步驟如下:

第一組的 個方程式 (7) ,設定了 的函數方程式

在理想情況下,這些方程式可以逆算出 的函數方程式

(10)

第二組的 個方程式 (8) ,設定了的函數方程式

代入函數方程式 (10) ,可以算出 函數方程式

(11)

由函數方程式 (10) 、(11) ,可以算出函數方程式

代入新哈密頓量的方程式 (9) ,則可得到

第三型生成函數[编辑]

第三型生成函數只跟舊廣義動量 、新廣義坐標 有關:

以下 方程式設定了變換

第四型生成函數[编辑]

第四型生成函數 只跟舊廣義動量 、新廣義動量 有關:

以下 方程式設定了變換

實例 1[编辑]

第一型生成函數有一個特別簡易案例:

方程式 (2) ,(3) ,(4) 的答案分別為

實例 2[编辑]

再擧一個涉及第二型生成函數,比較複雜的例子。讓

這裏, 是一組 個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換,

實例 3[编辑]

有時候,可以將一個給定的哈密頓量,變成一個很像諧振子的哈密頓量,

例如,假若哈密頓量為

(12)

這裏, 是廣義動量, 是廣義坐標。

一個優良的正則變換選擇是

(13)
(14)

代入方程式 (12) ,新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同:

這變換用的是第三型生成函數 ;其對於 的導數是

代入方程式 (13) 、(14) ,

對於 積分,可以得到生成函數

最後,檢查答案是否正確:

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]