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正則變換生成函數

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哈密頓力學裏,當計算正則變換時,生成函數扮演的角色,好似在兩組正則坐標 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ,採取一種間接的方法,稱為生成函數方法。這兩組變數必須符合方程式

(1)

其中, 是舊廣義坐標 是舊廣義動量 是新廣義坐標, 是新廣義動量, 分別為舊哈密頓量與新哈密頓量,生成函數 是時間。

生成函數 的參數,除了時間以外,一半是舊的正則坐標;另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定,一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換,從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 保證是正則變換。

生成函數列表

生成函數 導數

第一型生成函數

第一型生成函數 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關,

代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的全導數

新廣義坐標 和舊廣義坐標 都是自變量,其對於時間的全導數 互相無關,所以,以下 個方程式都必須成立:

(2)
(3)
(4)

個方程式設定了變換 ,步驟如下:

第一組的 個方程式 (2) ,設定了 個函數方程式

在理想情況下,這些方程式可以逆算出 個函數方程式

(5)

第二組的 個方程式 (3) ,設定了 個函數方程式

代入函數方程式 (5) ,可以算出 個函數方程式

(6)

個函數方程式 (5) 、(6) ,可以逆算出 個函數方程式

代入新哈密頓量 的方程式 (4) ,可以得到

第二型生成函數

第二型生成函數 只跟舊廣義坐標 、新廣義動量 有關 :

代入方程式 (1) 。展開生成函數隨時間的全導數:

由於舊廣義坐標 與新廣義動量 必須彼此無關,以下 方程式必須成立:

(7) 
(8)
(9)

個方程式設定了變換 。步驟如下:

第一組的 個方程式 (7) ,設定了 的函數方程式

在理想情況下,這些方程式可以逆算出 的函數方程式

(10)

第二組的 個方程式 (8) ,設定了的函數方程式

代入函數方程式 (10) ,可以算出 函數方程式

(11)

由函數方程式 (10) 、(11) ,可以算出函數方程式

代入新哈密頓量的方程式 (9) ,則可得到

第三型生成函數

第三型生成函數只跟舊廣義動量 、新廣義坐標 有關:

以下 方程式設定了變換

第四型生成函數

第四型生成函數 只跟舊廣義動量 、新廣義動量 有關:

以下 方程式設定了變換

實例 1

第一型生成函數有一個特別簡易案例:

方程式 (2) ,(3) ,(4) 的答案分別為

實例 2

再擧一個涉及第二型生成函數,比較複雜的例子。讓

這裏, 是一組 個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換,

實例 3

有時候,可以將一個給定的哈密頓量,變成一個很像諧振子的哈密頓量,

例如,假若哈密頓量為

(12)

這裏, 是廣義動量, 是廣義坐標。

一個優良的正則變換選擇是

(13)
(14)

代入方程式 (12) ,新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同:

這變換用的是第三型生成函數 ;其對於 的導數是

代入方程式 (13) 、(14) ,

對於 積分,可以得到生成函數

最後,檢查答案是否正確:

參閱

參考文獻