连通图

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

作为图论中最基本的概念之一,连通图基于连通的概念。在一个无向图G中,若从顶点到顶点有路径相连(当然从也一定有路径),则称是连通的。如果G有向图,那么连接的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的,那么图被称作连通图。图的连通性是图的基本性质。连通度是指为了让图分解成孤立的子图所要删除的顶点数的最小值。连通度是刻画网络的一个重要指标。

严格定义[编辑]

对一个图G= (V,E)中的两点,若存在交替的顶点和边的序列(在有向图中要求有向边属于E),则两点是连通的。是一条的连通路径,分别是起点和终点。当时,被称为回路。如果通路中的边两两不同,则是一条简单通路,否则为一条复杂通路。如果图G中每两点间皆连通,则G连通图

一个有向图被称作弱连通(weakly connected)的,如果将所有有向边替换为无向边之后的无向图是连通的,如果对于任意一对顶点,或者存在一条从的有向路径,或者存在一条从的有向路径,则该图是单连通(unilaterally conncected)的[1],如果对于如果对于任意一对顶点,同时存在一条从的有向路径和一条从的有向路径,则该图是强连通(strongly connected)的。

分量和割[编辑]

无向图G的一个极大连通子图称为G的一个连通分量(或连通分支)。每一个顶点和每一条边都属于唯一的一个连通分量,连通图只有一个连通分量,即其自身;非连通的无向图有多个连通分量。

有向图中的强连通分量是其极大的强连通子图。强连通图只有一个强连通分量,即是其自身;非强连通的有向图有多个强连通分量。

连通图割点是指一个由顶点组成的集合,在删除了这些点之后,会变得不连通。点连通度是割点集阶数的最小值。如果图不是完全图,且,则图-点连通的。更确切地来说,如果图(不论是否完全)可以在删除了个点之后变得不连通,却不能在删除个点之后变得不连通,则图-点连通的,特别地,阶数为的完全图是-点连通的。

一对端点,割点是是指一个由顶点组成的集合,在删除了这些点之后,,会变得不连通。局部连通度,的最小割点集的阶数。在无向图上,局部连通度是对称的,也就是说,,另外,除了完全图之外,为所有不相邻的点对,的局部联通度中的最小值。

类似的概念可以用来定义边连通度。如果在上删除一条边可以导致不连通性,则这条边被称作。更一般地,割边是指一个由边组成的集合,在 在删除了这些边之后,会变得不连通。边连通度在是最小的割边集的大小,局部边连通度

如果图的边连通度大于等于,则它被称作-边连通的。

在一个图上,以下的不等式成立:,其中的最小度(minimum degree)[2]。 如果图的点连通度等于其最小度,则被称作极大连通的,如果它的边连通度等于其最小度,则它被称作极大边连通的[3]

Super- and hyper-连通[编辑]

如果图上,每一个最小的割点集都能孤立一个顶点,则图被称作super-connected或者 super-κ。如果删除了每一个最小的割点集之后图都会分成两个连通分量,并且其中一个是单点,那么图被称作hyper-connectedhyper-κ。 如果图上删除了每一个最小的割点集之后都分成了两个连通分量,则图被称作semi-hyper-connectedsemi-hyper-κ[4]

一个割点集被称作non-trivial的,如果对于任意不属于的顶点,其邻域都不包含在中。superconnectivity可以被表示成: = min{|X| : X is a non-trivial cutset}.

一个non-trivial 割边和edge-superconnectivity λ1(G)可以被类似地定义。[5]


门格尔定理[编辑]

图论中关于连通性最重要的定理之一门格尔定理,它用定点之间独立路径的个数刻画了图点连通和边连通度。令 为图的两个顶点,一系列连接的路径被称作点独立的,如果它们之间除了之外,不会有相同的顶点。类似地,它们被称作边独立的,如果它们不会有相同的边。点独立的路径的个数被记作,边独立的路径的个数被记作。 门格尔定理告诉我们,若不相同,则,若不相同且不相邻,则 [6][7] 。 事实上,这其实是最大流最小割定理的特殊情况。

连通度的计算方面[编辑]

判断两个顶点是否连通这一问题可以被搜索算法迅速的解决,例如广度优先算法。更一般地,判断一个图是否连通,以及一个图连通分量的计数问题可以被较快地解决(例如使用Disjoint-set data structure,一个简单算法的伪代码可以写成:

  1. 的任意一个顶点开始
  2. 使用深度优先或广度优先搜索所有与该顶点连通的顶点,并计数
  3. 搜索完成,如果计数等于的阶数,则是连通的,否则不连通。

根据门格尔定理,在连通图上,对于任意一对顶点可以通过最大流最小割算法迅速的计算,因此,的边连通度和点联通度分别作为的最小值,可以被迅速地计算。

连通图的个数[编辑]

阶(小于等于16)的不同的连通图的个数在 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences中被记录在 A001187中,前几个份量是

n 个数
2 1
3 4
4 38
5 728
6 26704
7 1866256
8 251548592

一些例子[编辑]

  • 不连通图的边连通度和点连通度均为
  • 1-点连通等价于阶数大于等于的图的连通性。
  • 阶完全图的边连通度是,其他类型的阶图的边连通度严格小于
  • 中,任意两个顶点之间的局部边连通度都是

其他性质[编辑]

  • 连通性被图同态保持
  • 如果是连通的,则它的线图也是连通的
  • 是2-边连通的,当且仅当它有一个定向,且是强连通的。
  • 根据G. A. Dirac的结论,如果图-点连通的,且,则对于每k个顶点组成的集合,存在一个环经过这个集合上所有的顶点。[8][9]时,反过来亦成立。
  • 一个无向图G= (V,E)是连通的,那么边的数目大于等于顶点的数目减一:,而反之不成立。
  • 如果G= (V,E)是有向图,那么它是强连通图的必要条件是边的数目大于等于顶点的数目:,而反之不成立。
  • 没有回路的无向图是连通的当且仅当它是,即等价于:

亦可参考[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Chapter 11: Digraphs: Principle of duality for digraphs: Definition
  2. ^ Diestel, R. Graph Theory, Electronic Edition: 12. 2005. 
  3. ^ Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay. Handbook of graph theory. CRC Press. 2004: 335. ISBN 978-1-58488-090-5. 
  4. ^ Liu, Qinghai; Zhang, Zhao. The existence and upper bound for two types of restricted connectivity. Discrete Applied Mathematics. 2010-03-01, 158 (5): 516–521. doi:10.1016/j.dam.2009.10.017. 
  5. ^ Balbuena, Camino; Carmona, Angeles. On the connectivity and superconnectivity of bipartite digraphs and graphs. Ars Combinatorica. 2001-10-01, 61: 3–22. 
  6. ^ Gibbons, A. Algorithmic Graph Theory. Cambridge University Press. 1985. 
  7. ^ Nagamochi, H.; Ibaraki, T. Algorithmic Aspects of Graph Connectivity. Cambridge University Press. 2008. 
  8. ^ Dirac, Gabriel Andrew. In abstrakten Graphen vorhandene vollständige 4-Graphen und ihre Unterteilungen. Mathematische Nachrichten. 1960, 22 (1–2): 61–85. MR 0121311. doi:10.1002/mana.19600220107. .
  9. ^ Flandrin, Evelyne; Li, Hao; Marczyk, Antoni; Woźniak, Mariusz. A generalization of Dirac's theorem on cycles through k vertices in k-connected graphs. Discrete Mathematics. 2007, 307 (7–8): 878–884. MR 2297171. doi:10.1016/j.disc.2005.11.052. .