逆否命题

此條目介紹的是数学逻辑的命题逻辑。关于传统逻辑定律的 "contraposition"，请见「换质换位律」。

逆否命题（英語：contrapositive）是邏輯和数学的一種結構變換推理，一般用於在逻辑等价的前提下改變條件命題的結構。逆否命题也用于对位证明法（英語：proof by contrapositive）。逆否定将前件与后件否定和互逆。

给予初始实质条件命题“若P，则Q”：$P\to Q$，其逆否命题为“若非Q，则非P”$\neg Q\to \neg P$。

若 P，则 Q。—— 若非 Q，则非 P。 例如：“若现在在下雨，则我穿雨衣。” —— “若我不穿雨衣，则现在不下雨。”

原命题$P\to Q$的情况下，逆否命题可以与以下命题形式比较：

否命题（inverse） $\neg P\to \neg Q$

以上面的例子举例：“若现在不下雨，则我不穿雨衣。”。这类命题的真值与原命题的真值无关。

逆命题（converse） $Q\to P$

以上面的例子举例：“若我穿雨衣，则现在在下雨。”。这类命题是否命题的逆否命题，因此其真值也与原命题的真值无关。

非命题（negation） $\neg (P\to Q)$

以上面的例子举例：“若现在在下雨则我穿雨衣是不存在的。”或者“下雨时，我有时不穿雨衣。”。若此命题为真，那原命题则为假。

逆否命题法

逆否命题法，又称逆否命题证明法、对位证明法，是一种常见的数学证明方法。逆否命题证明法基于全称蕴含式与其逆否命题的等价性（参考下表）：

真值表

$A$	$B$	$\lnot A$	$\lnot B$	$A\lor B$	$A\land B$	$A\rightarrow B$	$A\land \lnot B$	$\lnot A\lor B$	$\lnot B\rightarrow \lnot A$
真	真	假	假	真	真	真	假	真	真
真	假	假	真	真	假	假	真	假	假
假	真	真	假	真	假	真（空真）	假	真	真
假	假	真	真	假	假	真（空真）	假	真	真

可以看出，无论命题$A$与命题$B$的真假如何，蕴含式$A\rightarrow B$与$\lnot B\rightarrow \lnot A$都同真假。因此，我们想要证明原命题为真，只需去证明原命题的逆否命题为真即可。

逆否命题法的原理用数学符号语言表示如下：

$(\forall x\in M,(A\rightarrow B))\Leftrightarrow (\forall x\in M,(\lnot B\rightarrow \lnot A)),$

其中$A$与$B$是任意两个命题。

参见

• 否命题
• 逆命题
• 换质换位律
• 对位证明法（逆否命题法）