里奇流

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不同时期的里奇流的2D流形.

微分几何中,“里奇流”是一种固有的几何学流动,它的主要思想是让流形随时间变形,即是让度规张量随时间变化,观察在流形的变形下,Ricci曲率是如何变化的,以此来研究整体的拓扑性质。它的核心是Hamilton-Ricci流方程,是一个拟线性抛物型方程组。

在里奇流动中,命名于格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗流动之后,首个详细介绍于1981年的理查德·哈密顿和同时提出的“里奇-汉密尔顿 流形”。这个工具同时被格里戈里·佩雷尔曼用于解决庞加莱猜想[1]。同样的,西蒙·布伦德英语Simon Brendle理查德·肖恩英语Richard Schoen正是使用它,微分球面定理(differentiable sphere theorem)使得完成证明。

数学定义[编辑]

给黎曼流形一个度规张量,我们可以计算出里奇张量,将它截面曲率的平均值收集到黎曼曲率张量的之中,那么我们仔细考虑这个度规张量(以及结合里奇张量)则这是一族与时间t有关的函数(但是我们一般不会提到任何与真实的物理上有关的时间),然后里奇流的明确定义在几何演变方程下得到(geometric evolution equation[2]

非线性的里奇流需要结合紧空间流形给出方程: 这里的 是关于标量曲面的平均值 代表了几维流形,这个非线性方程保证了大量度规。 这个-2 因数的意义其实不大,届时我们更变非零数字的尺度t

  1. ^ Perelman, Grisha. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math.DG/0211159 [math.DG]. November 11, 2002. 
  2. ^ Friedan, D. Nonlinear models in 2+ε dimensions. PRL. 1980, 45 (13): 1057. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057.