阿波羅尼奧斯圓

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圖 1 :阿波羅尼奧斯圓。每一個藍色圓與每一個紅色圓相互正交。每一個紅色圈都經過點 C 與點 D 。

阿波羅尼奧斯圓是兩個相關的圓族。第一個圓族的每一個藍色圓與第二個圓族的每一個紅色圓相互正交。這些圓構成了雙極坐標系。阿波羅尼奧斯圓是希臘數學家阿波羅尼奧斯 (Ἀπολλώνιος) 發現的。

定義[编辑]

阿波羅尼奧斯圓是線段定義的,標記此線段為 \overline{CD}\,\!

第一族(藍色圓)[编辑]

第一族中的每一個都由一個正實數 r 確定,這些圓定義為滿足下列條件的點 X軌跡

\left\{X\mid \frac{d(X,C)}{d(X,D)} = r\right\}.

XC 的距離與 XD 的距離之比為 r.

r 很接近零時,相應的圓會靠近 C 的一側,而對接近 ∞ 的 r, 相應的圓則靠近 D 的一側。至於當r = 1 時,該圓會退化為線段 CD中垂線

第二族(紅色圓)[编辑]

第二族中的每個圓都由角 θ 確定, 這些圓定義為滿足下列條件的點 X 的軌跡:

\left\{X\mid \; \measuredangle CXD \; = \theta\right\}.

其中 \measuredangle CXD 表示 CXD 的有向角。

θ 取遍 0 到 π 之所有值時,上式生成所有經過 CD 的圓。

性質[编辑]

不一樣圓圈的固定比例 k\,\! 必不一樣。圓與圓之間互不同心,互不相交。

每一個藍圓與每一個紅圓以直角相交,可以簡易地解釋如下:關於一個圓心為點 C 的圓 Q ,一族的藍阿波羅尼奧斯圓的反演像,形成了一組同心圓,其圓心在點 D' 。點 D 關於圓 Q 的反演是點 D' 。同樣的變換把一族的紅圓反演為一組從點 D' 放射出來的直線。這樣,反演將雙極坐標變換為極坐標。在極坐標裏,每一條徑向線與 圓心為原點的圓圈 以直角相交。由於反演是一個共形變換,所以,每一個藍圓圈與每一個紅圓圈以直角相交。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]