阿波罗尼奥斯圆

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图 1 :阿波罗尼奥斯圆。每一个蓝色圆与每一个红色圆相互正交。每一个红色圈都经过点 C 与点 D 。

阿波罗尼奥斯圆是两个相关的圆族。第一个圆族的每一个蓝色圆与第二个圆族的每一个红色圆相互正交。这些圆构成了双极坐标系。阿波罗尼奥斯圆是希腊数学家阿波罗尼奥斯 (古希腊语Ἀπολλώνιος) 发现的。

定义[编辑]

阿波罗尼奥斯圆是线段定义的,标记此线段为

第一族(蓝色圆)[编辑]

第一族中的每一个都由一个正实数 r 确定,这些圆定义为满足下列条件的点 X轨迹

XC 的距离与 XD 的距离之比值为 r.

r 很接近零时,相应的圆会靠近 C 的一侧,而对接近 ∞ 的 r, 相应的圆则靠近 D 的一侧。至于当r = 1 时,该圆会退化为线段 CD中垂线

第二族(红色圆)[编辑]

第二族中的每个圆都由角 θ 确定, 这些圆定义为满足下列条件的点 X 的轨迹:

其中 表示 CXD 的有向角。

θ 取遍 0 到 π 之所有值时,上式生成所有经过 CD 的圆。

性质[编辑]

不一样圆圈的固定比例 必不一样。圆与圆之间互不同心,互不相交。

每一个蓝圆与每一个红圆以直角相交,可以简易地解释如下:关于一个圆心为点 C 的圆 Q ,一族的蓝阿波罗尼奥斯圆的反演像,形成了一组同心圆,其圆心在点 D' 。点 D 关于圆 Q 的反演是点 D' 。同样的变换把一族的红圆反演为一组从点 D' 放射出来的直线。这样,反演将双极坐标变换为极坐标。在极坐标里,每一条径向线与 圆心为原点的圆圈 以直角相交。由于反演是一个共形变换,所以,每一个蓝圆圈与每一个红圆圈以直角相交。

参阅[编辑]

参考文献[编辑]