概率论 中，鞅表示定理 指出，相对于布朗运动 产生的过滤 可测 随机变量可以用相对于布朗运动的伊藤积分 来表示。
定理仅指出了表示的存在，但没有说明如何找到。许多情况下，可以用马利亚万积分 确定表示的形式。
类似定理也存在于由跳跃过程 （如马尔可夫链 ）产生的滤波上的鞅 。
令
B
t
{\displaystyle B_{t}}
(
Ω
,
F
,
F
t
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},P)}
布朗运动 ，并令
G
t
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{t}}
B
{\displaystyle B}
X 是关于
G
∞
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}
平方可积 随机变量，则存在关于
G
t
,
{\displaystyle {\mathcal {G}}_{t},}
可预测过程 C ，使
X
=
E
(
X
)
+
∫
0
∞
C
s
d
B
s
.
{\displaystyle X=E(X)+\int _{0}^{\infty }C_{s}\,dB_{s}.}
因此
E
(
X
|
G
t
)
=
E
(
X
)
+
∫
0
t
C
s
d
B
s
.
{\displaystyle E(X|{\mathcal {G}}_{t})=E(X)+\int _{0}^{t}C_{s}\,dB_{s}.}
在金融学的应用 [ 编辑 ] 鞅表示定理可用来确定对冲 策略的存在性。假设
(
M
t
)
0
≤
t
<
∞
{\displaystyle \left(M_{t}\right)_{0\leq t<\infty }}
波动性
σ
t
{\displaystyle \sigma _{t}}
(
N
t
)
0
≤
t
<
∞
{\displaystyle \left(N_{t}\right)_{0\leq t<\infty }}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
φ
{\displaystyle \varphi }
∫
0
T
φ
t
2
σ
t
2
d
t
<
∞
{\displaystyle \int _{0}^{T}\varphi _{t}^{2}\sigma _{t}^{2}\,dt<\infty }
N 可以写成：
N
t
=
N
0
+
∫
0
t
φ
s
d
M
s
.
{\displaystyle N_{t}=N_{0}+\int _{0}^{t}\varphi _{s}\,dM_{s}.}
复制策略定义为
在t 时刻持有
φ
t
{\displaystyle \varphi _{t}}
持有
ψ
t
B
t
=
C
t
−
φ
t
Z
t
{\displaystyle \psi _{t}B_{t}=C_{t}-\varphi _{t}Z_{t}}
其中
Z
t
{\displaystyle Z_{t}}
t
{\displaystyle t}
C
t
{\displaystyle C_{t}}
t
{\displaystyle t}
在到期日T ，投资组合的价值为：
V
T
=
φ
T
S
T
+
ψ
T
B
T
=
C
T
=
X
{\displaystyle V_{T}=\varphi _{T}S_{T}+\psi _{T}B_{T}=C_{T}=X}
且很容易检查出该策略是自负盈亏的：投资组合价值的变化只取决于资产价格变化
(
d
V
t
=
φ
t
d
S
t
+
ψ
t
d
B
t
)
{\displaystyle \left(dV_{t}=\varphi _{t}\,dS_{t}+\psi _{t}\,dB_{t}\right)}
参考文献 [ 编辑 ]
Montin, Benoît. (2002) "Stochastic Processes Applied in Finance" [1]
Elliott, Robert (1976) "Stochastic Integrals for Martingales of a Jump Process with Partially Accessible Jump Times", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete , 36, 213–226
^ martingale . May 19, 2023 [2023-11-12 ] . （原始内容存档 于2023-09-21）.
