龐蒂科夫-牧-中川-坂田矩陣

在粒子物理學中，龐蒂科夫-牧-中川-坂田矩陣（英語：Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata Matrix，簡稱PMNS矩陣），又稱牧-中川-坂田矩陣（MNS矩陣）、輕子混合矩陣或中微子混合矩陣，是一個么正矩陣，內含自由轉播中與弱相互作用中的輕子間量子態的相異之處，因此是研究中微子振蕩的重要工具。此矩陣最早由牧二郎、中川昌美與坂田昌一於1962年提出，用於解釋布魯諾·龐蒂科夫所預測的中微子振蕩現象。

矩陣

三代輕子的混合矩陣如下：

${\begin{bmatrix}{\nu _{e}}\\{\nu _{\mu }}\\{\nu _{\tau }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\nu _{1}\\\nu _{2}\\\nu _{3}\end{bmatrix}}\$。

其中左邊的是參與弱相互作用的中微子場，而右邊的是PMNS矩陣，還有一個由中微子場本徵態組成的向量，將中微子質量矩陣對角化後可得這個向量。PMNS矩陣描述某種味 $\alpha$ 進入質量本徵態 $i$ 的概率。這些概率與 $|U_{\alpha i}|^{2}$ 成正比。

這個矩陣有好幾種不同的參數化，但是由於中微子探測的難度，各參數的測量要比這個矩陣的夸克對應版本（CKM矩陣）要難得多。這個矩陣最常見的參數組為三個混合角（即 $\theta _{12}$、$\theta _{23}$ 及 $\theta _{13}$）與一個相位$\delta$。

${\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta _{12}\cos \theta _{13}&\sin \theta _{12}\cos \theta _{13}&\sin \theta _{13}e^{-i\delta }\\-\sin \theta _{12}\cos \theta _{23}-\cos \theta _{12}\sin \theta _{23}\sin \theta _{13}e^{i\delta }&\cos \theta _{12}\cos \theta _{23}-\sin \theta _{12}\sin \theta _{23}\sin \theta _{13}e^{i\delta }&\sin \theta _{23}\cos \theta _{13}\\\sin \theta _{12}\sin \theta _{23}-\cos \theta _{12}\cos \theta _{23}\sin \theta _{13}e^{i\delta }&-\cos \theta _{12}\sin \theta _{23}-\sin \theta _{12}\cos \theta _{23}\sin \theta _{13}e^{i\delta }&\cos \theta _{23}\cos \theta _{13}\end{bmatrix}}$。

從2011年以前的實驗結果得知，混合角 $\theta _{12}$ 約為 45 度，$\theta _{23}$ 約為 34 度，而 $\theta _{13}$ 則小於 4 度。

作為這項研究的一個起步點，以下是一份近期講義中引述的矩陣參數約化值 （當中假設 $\theta _{13}=0$，因此矩陣中無虛數項。 這樣的假設在2011年以前與實驗結果並無衝突，然而T2K、Double Chooz以及大亞灣等實驗結果都指出 $\theta _{13}\neq 0$ ，其值約為 4.4 度。 ）：

${\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu 1}&U_{\mu 2}&U_{\mu 3}\\U_{\tau 1}&U_{\tau 2}&U_{\tau 3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta _{12}\cos \theta _{13}&\sin \theta _{12}&0\\-\sin \theta _{12}\cos \theta _{23}&\cos \theta _{12}\cos \theta _{23}&\sin \theta _{23}\\\sin \theta _{12}\sin \theta _{23}&-\cos \theta _{12}\sin \theta _{23}&\cos \theta _{23}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.85&0.53&0\\-0.37&0.60&0.71\\0.37&-0.60&0.71\end{bmatrix}}\$。

另見

• 中微子振蕩
• CKM矩陣