群環

在抽象代數中，群環是從一個群 $G$ 及交換環 $R$ 構造出的環，通常記為 $R[G]$ 或 $RG$。其定義為：

$R[G]:=\bigoplus _{g\in G}Re_{g}\qquad$ （換言之，這是由基底 $\{e_{g}:g\in G\}$ 張出的自由 $R$-模）

其上的 $R$-線性乘法運算由 $e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}$ 給出。$R[G]$ 對 $R$-模的加法與上述乘法形成一個 $R$-代數。乘法單位元素為 $1:=e_{e}$。

最常用的是 $R=\mathbb {Z}$ 或 $R=\mathbb {C}$ 的群環。對於後者，$\mathbb {C} [G]$ 成為 $G$ 的表示：$s\sum a_{g}e_{g}=\sum a_{g}e_{sg}$；若 $G$ 為有限群，則稱此表示為正則表示。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。

對於無窮階的群 $G$，迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊拓撲群，通常採用 $C_{c}(G)$ 或 $L^{1}(G)$ 對摺積構成的代數，較有利於研究群的拓撲性質及其表示。

文獻

• A. A. Bovdi, Group algebra, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• C.W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience (1962)
• D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)