K-L 轉換

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K-L轉換(Karhunen-Loève Transform)是建立在統計特性基礎上的一種轉換,它是均方差(MSE, Mean Square Error)意義下的最佳轉換,因此在資料壓縮技術中佔有重要的地位。K-L轉換是對輸入的向量x,做一個正交變換,使得輸出的向量得以去除數據的相關性。

然而,K-L轉換雖然具有均方差(MSE)意義下的最佳轉換,但必須事先知道輸入的訊號,並且需經過一些繁雜的數學運算,例如协方差(covariance)以及特徵向量(eigenvector)的計算。因此在工程實踐上K-L轉換並沒有被廣泛的應用,不過K-L轉換是理論上最佳的方法,所以在尋找一些不是最佳、但比較好實現的一些轉換方法時,K-L轉換能夠提供這些轉換性能的評價標準。 以處理圖片為範例,在K-L轉換途中,圖片的能量會變得集中,有助於壓縮圖片,但是實際上,KL轉算為input-dependent,即需要對每張輸入頹片存下一個轉換機制,每張圖都不一樣,這在實務應用上式不實際的。

原理[编辑]

KL轉換屬於正交轉換,其處輸入訊號的原理如下:

對輸入向量做KL傳換後,輸出向量之元素間(, 之元素的index)的相關性為零,即:

展開上式並做消去:

如果,因為KL轉換式線性轉換的關係,,則可以達成以下式,所以這裡得輸入向量之平均值需為,所以KLT是專門用於隨機程序的分析:

其中,即輸出向量不同元素相關性為

回到矩陣表示形式,令為KL轉換矩陣,使:

表示之covariance矩陣:

因為直接等於covariance矩陣:

其中之covariance矩陣。

如果要使,則必須為對角線矩陣,即對角線上之值皆為,所以必須將傳換成對角線矩陣,即的每一行皆為之特徵向量。

K-L轉換的目的是將原始數據做轉換,使得轉換後資料的相關性最小。若輸入數據為一維:

其中en為輸入訊號x共變異數矩陣(covariance matrix)Cx特徵向量(eigenvector)

若輸入訊號x為二維:

KLT與PCA的區別[编辑]

KLT和Principle component analysis (PCA)有相似的特性,二者之間有很細微的差異,其中KLT專門處理隨機性的訊號,但PCA則沒有這個限制。對PCA而言,這裡假設輸入訊號為ㄧ向量,輸入向量在乘上轉換矩陣之前,會先將輸入向量扣去平均值,即:

PCA會根據之covariance矩陣來選擇特徵向量做為轉換矩陣之內容:

其中為對角線矩陣且對角線值為特徵值。

由上述可見PCA和KLT之差異在於有沒有減去平均值,這是由於輸入資料分布的限制造成的,當輸入向量支平均值為零時,二這者沒有差異。

應用[编辑]

在影像的壓縮上,目的是要將原始的影像檔用較少的資料量來表示,由於大部分的影像並不是隨機的分布,相鄰的像素(Pixal)間存在一些相關性,如果我們能找到一種可逆轉換(reversible transformation),它可以去除數據的相關性,如此一來就能更有效地儲存資料,由於K-L轉換是一種線性轉換,並有去除資料相關性的特性,便可以將它應用在影像的壓縮上。此外,由於K-L轉換具有將訊號轉到特徵空間(eigenspace)的特性,因此也可以應用在人臉辨識上。

 参考文献[编辑]

1. Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP8.pdf

2. Gerbrands, J.J., On the relationships between SVD, KLT, and PCA, Pattern Recogn., 14 (1981), pp. 375-381