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User:Zao/沙盒

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密率

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為例

約率

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為例


商除法

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傳統除法算法,源於籌算,在《孫子算經》中有論述。但其時尚無「商除」之名,此名首見於楊輝所著《楊輝算法》的《算法通變本末》。


商除法求約率

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約率為例。為簡單起見,先以兩個算盤(一個記錄商,一個記錄餘)說明之。

(例)

  • 第一位
置數

估商
估為
減積

()

()

()

()

()

()
  • 第二位


估商
估為
減積

()

()

()

()

()

()
  • 第三位


估商
估為
減積

()

()

()

()

()

()

得到

商除法求密率

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而實際在計算時,會使用一個算盤同時放置商數和餘數,就是分區放。要如何有效利用有限的檔位,又不影響計算,其規律就是夠除,隔位置商;不夠除,挨位置商

密率為例,說明完整的商除法。


為例

  • 第一位
置數

估商
估為 。夠除,隔位置商。
減積
"
"
"
  • 第二位
前次結果

估商
估為 。夠除,隔位置商。
減積
"
"
"
  • 第三位
前次結果

估商
估為 。夠除,隔位置商。
減積
"
"
"
  • 第四位
前次結果

估商
估為 。夠除,隔位置商。
減積
"
"
"
  • 第五位
前次結果

估商
估為 。夠除,隔位置商。
減積
"
"
"


  • 第六位。注意,這位是不夠除,挨位置商
前次結果

估商
估為 不夠除,挨位置商
減積
"
"
"
  • 第七位。
前次結果

估商
估為 。夠除,隔位置商。
減積
"
"
"

歸除法求約率

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約率為例。

為例

七歸

置數

七二下加六

商設為
下一檔

逢七進一


本檔

七一下加三

商設為
下一檔

七三四餘二

商設為
下一檔

"
"
"
"
"

歸除法求密率

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跟單歸法類似,也是借助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。

為例,可以先用 300 來估商,因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積(如「三一三餘一」中,餘一的部分已加入下一檔)。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念:除數的首數稱為,除數的首數以外的數稱為。除數為 321 的話,稱作3歸21除,意味著用 3歸求商及其減積,再以 21 來完成乘下的減積

減積後,有可能發現的估商需要調整。若過小,需要增商,這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」;若過大,則需退商,則有退商口訣

  • 一歸:無除起一下還一
  • 二歸:無除起一下還二
  • 三歸:無除起一下還三
  • 四歸:無除起一下還四
  • 五歸:無除起一下還五
  • 六歸:無除起一下還六
  • 七歸:無除起一下還七
  • 八歸:無除起一下還八
  • 九歸:無除起一下還九

這口訣有明顯規律:「無除起(也有作「退」)一下還 n」,無需特別記憶。


另外,也有可能發現在某些情況(即除數、被除數差不多大,卻又不夠除時)下,無法估商,則使用撞歸口訣

  • 一歸:見一無除撞九一
  • 二歸:見二無除撞九二
  • 三歸:見三無除撞九三
  • 四歸:見四無除撞九四
  • 五歸:見五無除撞九五
  • 六歸:見六無除撞九六
  • 七歸:見七無除撞九七
  • 八歸:見八無除撞九八
  • 九歸:見九無除撞九九

這口訣也有明顯規律:「見 n 無除撞(也有作「作」)九 n」,無需特別記憶。它的意思是,在「除數、被除數的首數同為 n,卻又不夠除,直接估商為 9,下一檔要 +n」時。當首數相同,卻又無法進 1 (代表 10),則估商就從 9 開始。減積後,需要在下一檔 +n 。


密率為例,因為除數為 ,故稱之為「一歸十三除」,相關口訣如下:

  • 九歸口訣:逢一進一,逢二進二,逢三進三,逢四進四,逢五進五,逢六進六,逢七進七,逢八進八,逢九進九。
  • 退商口訣:無除起一下還一。
  • 撞歸口訣:見一無除撞九一。

為例

  • 第一位
一歸十三除
置數 逢三進三

商為

以十三除減積

" " "
  • 第二位
一歸十三除
前次結果 逢一進一

商為

以十三除減積

" " "
  • 第三位
一歸十三除
前次結果 逢四進四

商為

以十三除減積

" " "
  • 第四位
一歸十三除
前次結果 逢一進一

商為

以十三除減積

" " "
  • 第五位
一歸十三除
前次結果 逢六進六

商為

以十三除減積

加回減積 退商

無除起一下還一 商,下一檔

以十三除減積

" " " " " "
  • 第六位
一歸十三除
前次結果 見一無除撞九一

商為 ,下一檔

以十三除減積

" " "
  • 第七位
一歸十三除
前次結果 逢三進三

商為

以十三除減積

加回減積 退商

無除起一下還一

,下一檔

以十三除減積

" " " " " "