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{{NoteTA |G1=Math}}
{{各種函數}}

'''可测函数'''（{{Lang-en|measurable function}}）是保持[[可测空间]]結構的[[函数]]，也是[[勒貝格積分]]中主要討論的函數。

== 正式定義 ==
{{math_theorem
| name = 可測函數的定義
| math_statement = 設 <math>(X,\Sigma_X)</math> 與 <math>(Y,\Sigma_Y)</math> 為[[可测空间]]。那[[函数]] <math>f:X\to Y</math> 對任意 <math>B \in \Sigma_Y</math> 若滿足：

: <math> f^{-1}(B) \in \Sigma_X </math>

則稱 <math>f</math> 為一個 <math>\Sigma_X</math> - <math>\Sigma_Y</math> '''可測函數'''。
}}

== 重要範例 ==

=== 實可測函數 ===
取本節定義中的 <math>Y</math> 為[[实数|实数系]] <math>\R</math>  ，然後取：

: <math>\mathcal{I} = \bigg\{ A \in \mathcal{P}(\R)
\,\bigg|\,
    (\exists a)(\exists b)\left[\,
        (a,\,b \in \R) \wedge
        (A = (a,\,b))
    \,\right]
\bigg\}</math>
: <math>\mathcal{B}_{\R}
:= \sigma(\mathcal{I})
= \bigcap \bigg\{ \Sigma
\,\bigg|\,
    (\Sigma\text{ is a sigma algebra.}) \wedge
    (\mathcal{I} \subseteq \Sigma)
\bigg\} </math>

換句話說，<math>\mathcal{B}_{\R}</math> 是由實數開[[區間]]所生成的[[博雷爾集|博雷爾代數]]（注意到 <math>\mathcal{I}</math> 本身是個[[拓扑基]]），那麼這樣的<math>\Sigma_X</math> - <math>\mathcal{B}_{\R}</math> 可測函數 <math>f</math> ，通常會簡稱為 <math>\Sigma_X</math> - '''實可測函數'''；甚至簡稱為'''實可測函數'''。[[概率论]]裡的[[随机变量]]就是實可測函數。

=== '''博雷爾'''函数 ===
如果<math>(X,\tau_X)</math> 與 <math>(Y,\tau_Y)</math> 正好也是[[拓扑空间|拓撲空間]]，這時取以下兩個[[Σ-代数#最小σ-代数|最小σ-代数]]：

: <math>\sigma(\tau_X)
= \bigcap \bigg\{ \Sigma
\,\bigg|\,
    (\Sigma\text{ is a sigma algebra.}) \wedge
    (\tau_X \subseteq \Sigma)
\bigg\}  </math>
: <math>\sigma(\tau_Y)
= \bigcap \bigg\{ \Sigma
\,\bigg|\,
    (\Sigma\text{ is a sigma algebra.}) \wedge
    (\tau_Y \subseteq \Sigma)
\bigg\}     </math>

換句話說，<math>\sigma(\tau_X)</math> 是由 <math>X</math> 上[[开集]]所生成的[[博雷爾集|博雷爾代數]]；<math>\sigma(\tau_Y) </math> 是由 <math>Y</math> 上[[开集]]所生成的[[博雷爾集|博雷爾代數]]，那這樣 <math>\sigma(\tau_X)</math> - <math>\sigma(\tau_X)</math> 可测函数 ''<math>f</math>'' 又称为 <math>\tau_X</math> - <math>\tau_Y</math> '''博雷爾函数'''（Borel function）。

根據[[拓扑空间#连续映射与同胚|拓撲空間连续函數]]的定義， <math>\tau_X</math> - <math>\tau_Y</math> 博雷爾函数必定 <math>\tau_X</math> - <math>\tau_Y</math> 連續，但反之不成立，原因可見下面[[可测函数#可测函数的性质|可测函数的性质]]的定理(2)。

==可测函数的性质==
{{math_theorem
| name = 定理(1)
| math_statement = 設 <math>(X,\Sigma_X)</math> 為[[测度空间|可测空间]]， <math>Y</math> 為一[[集合 (数学)|集合]]，且有[[函数]] <math>f:X\to Y</math> 。那
: <math> \Sigma = 
\left\{
B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\,
    f^{-1}(B) \in \Sigma_X
\right\} </math>

為 <math>Y</math> 的[[&sigma;代数|σ代數]]。
}}
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
以下將逐條檢驗 <math>\Sigma</math> 是否符合[[&sigma;代数|σ代數]]的定義

(1) <math>Y \in \Sigma</math>

因為：
: <math>f^{-1}(Y) 
= 
\left\{
x \in X \,|\,
(\exists y \in Y)\left[
    f(x) = y
\right]
\right\}
= X \in \Sigma_X</math>

所以 <math>Y \in \Sigma</math>。

(2) <math>B \in \Sigma</math> ，則 <math>Y - B \in \Sigma   </math>

若 <math>B \in \Sigma</math> ，因為：
: <math>f^{-1}(Y-B) 
= 
\big\{
x \in X \,|\,
(\exists y)\left\{
    (y \in Y) \wedge
    (y \notin B) \wedge
    [f(x) = y]
\right\}
\big\}
= X - f^{-1}(B) \in \Sigma_X </math>

所以 <math>Y - B \in \Sigma   </math> 。

(3)可數個[[并集]]仍在 <math>\Sigma</math> 中

若 <math>\{B_1,\,B_2,\,\dots\} \subseteq \Sigma</math> ，那因為：
: <math>f^{-1}\left( \bigcup\{B_1,\,B_2,\,\dots\} \right) 
= 
\big\{
x \in X \,\big|\,
(\exists y)\left\{
    [f(x) = y] \wedge
    (\exists i \in N)
    (y \in B_i)
\right\}
\big\}
= \bigcup\{f^{-1}(B_1),\,f^{-1}(B_2),\,\dots\} \in \Sigma_X  </math>

所以 <math>\bigcup\{B_1,\,B_2,\,\dots\} \in \Sigma  </math> 。

綜上所述， <math>\Sigma</math> 的確是<math>Y</math> 的[[&sigma;代数|σ代數]]。<math>\Box</math>
|}

{{math_theorem
|name=定理(2)
|math_statement=
<math>(X,\Sigma_X)</math> 為[[可测空间]] ，<math>\mathcal{F}_Y \subseteq \mathcal{P}(Y)</math> 是[[集合 (数学)|集合]] <math>Y</math> 的一個[[子集族]] ，那對[[函数]] <math>f:X\to Y</math> 來說，以下兩敘述等價：

# 對所有 <math>B \in \mathcal{F}_Y</math> 有 <math> f^{-1}(B) \in \Sigma_X </math>
# <math>f</math> 是 <math>\Sigma_X</math> - <math>\sigma(\mathcal{F}_Y)</math> 可測函數
}}
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
(1 <math>\Rightarrow</math> 2)

若對所有 <math>B \in \mathcal{F}_Y</math> 都有：
: <math> f^{-1}(B) \in \Sigma_X </math>

換句話說：
: <math> \mathcal{F}_Y
\subseteq
\left\{
B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\,
    f^{-1}(B) \in \Sigma_X
\right\}   </math>

那根據本節之定理(1)和[[Σ-代数#最小σ-代数|最小σ代数]] <math> \sigma(\mathcal{F}_Y) </math> 的定義有：
: <math> \sigma(\mathcal{F}_Y)
\subseteq
\left\{
B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\,
    f^{-1}(B) \in \Sigma_X
\right\}  </math>

換句話說，只要 <math>B \in \sigma(\mathcal{F}_Y)</math> 就有 <math> f^{-1}(B) \in \Sigma_X </math>，故 <math>f</math> 是 <math>\Sigma_X</math> - <math>\sigma(\mathcal{F}_Y)</math> 可測函數。<math>\Box</math>

(2 <math>\Rightarrow</math> 1)

若對所有<math>B \in \sigma(\mathcal{F}_Y)</math> 都有 <math> f^{-1}(B) \in \Sigma_X </math>，換句話說：
: <math> \mathcal{F}_Y
\subseteq
\sigma(\mathcal{F}_Y)
\subseteq
\left\{
B\in \mathcal{P}(Y) \,\big|\,
    f^{-1}(B) \in \Sigma_X
\right\}   </math>

這樣的話，的確可以從 <math>B \in \mathcal{F}_Y</math> 推出 <math> f^{-1}(B) \in \Sigma_X </math> 。<math>\Box</math>
|}

{{math_theorem
|name=定理(3)
|math_statement=
設 <math>(X,\Sigma_X)</math>為[[可测空间]]，<math>(Y,\tau_Y)</math> 與 <math>(Z,\tau_Z)</math> 為[[拓扑空间]]，若： <ref>{{cite book |last= Billingsley |first=  Patrick |title= Probability and Measure |url= https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill |year= 1995 |publisher= Wiley |isbn=0-471-00710-2 }} </ref>

* <math>f:X\to Y</math> 為 <math>\Sigma_X</math>- <math>\sigma(\tau_Y)</math>可測函數
* <math>g: Y\to Z</math>  為 <math>\tau_Y</math> - <math>\tau_Z</math> [[拓扑空间#连续映射与同胚|连续函數]]

則[[复合函数]] <math>g \circ f</math>  為 <math>\Sigma_X</math>- <math>\sigma(\tau_Z)</math>可測函數。
}}
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
根據定理(2)， <math>g \circ f</math>  為 <math>\Sigma_X</math>- <math>\sigma(\tau_Z)</math>可測函數等價於：
: 「對所有的 <math>C \in \tau_Z</math> ， <math>{(g \circ f)}^{-1}(C) =  f^{-1}[g^{-1}(C)] \in \Sigma_X</math>」

但因為<math>g</math>  為 <math>\tau_Y</math> - <math>\tau_Z</math> [[拓扑空间#连续映射与同胚|连续函數]]，故：
: 「對所有的 <math>C \in \tau_Z</math> ， <math>g^{-1}(C) \in \tau_Y \subseteq \sigma(\tau_Y)</math>」

但 <math>f</math> 又為 <math>\Sigma_X</math>- <math>\sigma(\tau_Y)</math>可測函數，故可以得到 <math>f^{-1}[g^{-1}(C)] \in \Sigma_X </math> ，所以本定理得証。<math>\Box</math> 
|}
*两个可测的实函数的和与积也是可测的。
*可数个實可测函数的最小上界也是可测的。
*可测函数的[[逐点]]极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
*[[卢辛定理]]


== 勒贝格可测函数 ==
勒贝格可测函数是一个实函数''f'' : '''R''' &rarr; '''R'''，使得对于每一个实数''a''，集合
:<math>\{x \in \R : f(x)>a \} </math>
都是[[勒贝格测度|勒贝格可测]]的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的[[当且仅当]]mid{-g,f,g}对于所有非负的[[勒贝格积分|勒贝格可积]]函数g都是可积的。

==不可测函数==
不是所有的函数都是可测的。例如，如果<math>A</math>是实数轴<math>\R</math>的一个[[不可测集|不可测]]子集，那么它的[[指示函数]]<math>1_A(x)</math>是不可测的。

==参见==
*可测函数的向量空间：[[Lp空间|<math>L^p</math>空间]]
*[[保测动态系统]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

[[Category:测度论]]
[[Category:函数]]