埃尔米特插值

sin(x)+cos(x)的埃尔米特插值

不少实际的插值问题不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。

概述

埃尔米特插值是另一类插值问题，这类插值在给定的节点处，不但要求插值多项式的函数值与原函数值相同。同时还要求在节点处，插值多项式的一阶直至指定阶的导数值，也与被插函数的相应阶导数值相等，这样的插值称为埃尔米特(Hermite)插值。 Hermite插值在不同的节点，提出的插值条件个数可以不同，若在某节点$x_{i}$，要求插值函数多项式的函数值，一阶导数值，直至$m_{i}-1$阶导数值均与被插函数的函数值相同及相应的导数值相等。我们称$x_{i}$为$m_{i}$重插值点节,因此，Hermite插值应给出两组数，一组为插值点$\{x_{i}\}_{i=0}^{n}$节点，另一组为相应的重数标号$\{m_{i}\}_{i=0}^{n}$。
若$\sum _{i=0}^{n}m_{i}=N+1$，这就说明了给出的插值条件有$N+1$个，为了保证插值多项式的存在唯一性，这时的Hermite插值多项式应在$P_{N+1}$上求得，于是可作如下定义。

定义

$f$为 $[a,b]$ 上充分光滑函数，对给定的插值定节$\{x_{i}\}_{i=0}^{n}$，及相应的重数标号$\{m_{i}\}_{i=0}^{n}$，$\sum _{i=0}^{n}m_{i}=N+1$时，若有$H(x)\in P_{n}$满足

$H^{l}(x_{i})=f(x_{i}){\mbox{ , }}l=0,1,\ldots ,m_{i-1};i=0,1,\ldots ,n.$

则称$H(x)$ 为$f(x)$关于节点$\{x_{i}\}_{i=0}^{n}$及重数标号$\{m_{i}\}_{i=0}^{n}$的Hermite插值多项式。

二重Hermite插值多项式

常用的Hermite插值为m_i=2 的情况，即给定的插值节点{x_i}ⁿ_i=0 均为二重节点，更具体些，$f(x)\in C^{2}([a,b])$，及插值节点{x_i}ⁿ_i=0，若有$H_{2n+1}(x)\in P_{2n+1}$ 满足

$H_{2n+1}(x_{i})=f(x_{i})$

$H_{2n+1}^{'}(x_{i})=f^{'}(x_{i}){\mbox{ , }}i=0,1,\ldots ,n$，就称H_{2n + 1}(x)为f(x) 关于节点{x_i}ⁿ_i=0 的二重Hermite插值多项式。

唯一性定理

f(x)关于节点{x_i}ⁿ_i=0的二重Hermite插值多项式存在且唯一。

误差定理

若$f\in C^{2n+2}([a,b])$，则为f(x)关于$[a,b]$上节点{x_i}ⁿ_i=0的二重Hermite插值多项式误差为

$R_{2n+1}(x)=f(x)-H_{2n+1}(x)={\frac {f^{(2n+2)}(\xi )}{(2n+2)!}}\ w_{n}^{2}(x)$

这里

min{x0,x1,...,xn,x}≤ξ=ξ(x)≤max{x0,x1,...,xn,x}

参考文献

• 韩丹夫，吴庆标.数值计算方法.浙江：浙江大学出版社，2006.6.
• Michelle Schatzman (2002). Numerical Analysis: A Mathematical Introduction, Chapter 4. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-850279-6.
• Endre Süli and David Mayers (2003). An Introduction to Numerical Analysis, Chapter 6. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.