設集合
,
,
中不大於
的元素的數目。施尼勒尔曼密度(Schnirelmann density)函數
,或
的施尼勒尔曼密度定義為:
![{\displaystyle \inf _{n}{\frac {A_{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cde068c0782ce2ff666e0eeb69aff6ae3f3f8e6)
其中inf表示最大下界。若使用
(如自然密度),可能不存在極限,施尼勒尔曼密度的其中一個好處在於它總是有值的。
![{\displaystyle 0\leq \sigma A\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd36ecb253739f5ede36c548eefa30cf41a365a)
![{\displaystyle \forall n\ A(n)\geq n\sigma A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733e32a004552d48e0704d70cf7c7a5d82ab2de2)
![{\displaystyle \sigma A=1\leftrightarrow A=\mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac6f99947cbb00d4171a83676078bddeabb7dfc)
.
- 特別地
![{\displaystyle 1\notin A\rightarrow \sigma A=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dbda5a7d3dc3f7df4d3886c5a56150fbdc009c3)
![{\displaystyle 2\notin A\rightarrow \sigma A\leq 1/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8defffbee527b21b9958b04c4e080c3a71fc71)
![{\displaystyle \sigma A=0\rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n\ A(n)<\epsilon n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272b3b9244350067b391df224a8d2468560f9752)
設
,拉格朗日四平方和定理可以寫成
,其中
表示
和
的和集。
顯然,
,另外也有
。那麼施尼勒尔曼密度1是怎樣得來的呢?原來
。儘管只有一、兩個平方數集的和集的密度都是0,但之後和集的施尼勒尔曼密度會慢慢增加。
施尼勒尔曼指出:
![{\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3232b468a665e793440094ea2c2b31a13cdb5d6)
亨利·曼證明了更強的條件:
![{\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \min(\sigma A+\sigma B,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e365be57a8ec1270f0e16dd4cdf88e8f254c2f08)