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杜哈梅积分

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振动理论中,杜哈梅积分(Duhamel's integral)是求解线性系统在任意外载激励下响应的一种方法。

概要介绍

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问题背景

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受随时间变化的外载p(t)和粘性阻尼作用下的线性单自由度(SDF)系统运动方程是一个二阶常微分方程,可写为

其中m为等效振子的质量,x代表系统振幅,t代表时间,c是粘性阻尼系数,k是系统刚度

若初始静止于平衡位置的系统在t=0时刻受到一个单位冲击载荷作用,即p(t)是一个狄拉克δ函数δ(t),,可以解得系统响应(称为单位脉冲响应函数)为

其中称为系统的阻尼比是系统在无阻尼状态下振动的固有圆频率是系统在当前存在的阻尼c作用下的实际振动圆频率。推广到任意时刻τ时受到冲击载荷作用的脉冲响应为

结论导出

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将任意载荷p(t)视为一系列脉冲激励的迭加

那么根据线性性质可知,系统的响应同样可以表示成对这一系列脉冲激励的响应函数迭加

时,连续求和转化为积分,此时上面的等式是严格成立的

h(t-τ)的表达式代入即得杜哈梅积分的一般形式:

参考文献

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  • 倪振华 编著,《振动力学》,西安交通大学出版社,西安,1990
  • R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975.(中文版:R.W.克拉夫,J.彭津 著,王光远等 译,《结构动力学》,科学出版社,北京,1981)
  • Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering, Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001
  • Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis, Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986