在振動 理論中，杜哈梅積分 （Duhamel's integral）是求解線性系統 在任意外載激勵下響應 的一種方法。
概要介紹 [ 編輯 ] 問題背景 [ 編輯 ] 受隨時間變化的外載p (t )和粘性阻尼 作用下的線性單自由度（SDF）系統 的運動方程 是一個二階常微分方程 ，可寫為
m
d
2
x
(
t
)
d
t
2
+
c
d
x
(
t
)
d
t
+
k
x
(
t
)
=
p
(
t
)
{\displaystyle m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+c{\frac {dx(t)}{dt}}+kx(t)=p(t)}
其中m 為等效振子的質量，x 代表系統振幅，t 代表時間，c 是粘性阻尼係數，k 是系統剛度 。
若初始靜止於平衡位置的系統在t =0時刻受到一個單位衝擊載荷作用，即p (t )是一個狄拉克δ函數 δ (t )，
x
(
0
)
=
d
x
d
t
|
t
=
0
=
0
{\displaystyle x(0)=\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0}
單位脈衝響應函數 ）為
h
(
t
)
=
{
1
m
ω
d
e
−
ς
ω
n
t
sin
ω
d
t
,
t
>
0
0
,
t
<
0
{\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}t}\sin \omega _{d}t,&t>0\\0,&t<0\end{cases}}}
其中
ς
=
c
2
m
ω
n
{\displaystyle \varsigma ={\frac {c}{2m\omega _{n}}}}
阻尼比 ，
ω
n
{\displaystyle \omega _{n}}
固有圓頻率 ，
ω
d
=
ω
n
1
−
ς
2
{\displaystyle \omega _{d}=\omega _{n}{\sqrt {1-\varsigma ^{2}}}}
c 作用下的實際振動圓頻率 。推廣到任意時刻τ 時受到衝擊載荷
δ
(
t
−
τ
)
{\displaystyle \delta (t-\tau )}
h
(
t
−
τ
)
=
1
m
ω
d
e
−
ς
ω
n
(
t
−
τ
)
sin
[
ω
d
(
t
−
τ
)
]
{\displaystyle h(t-\tau )={\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]}
t
≥
τ
{\displaystyle t\geq \tau }
結論導出 [ 編輯 ] 將任意載荷p (t )視為一系列脈衝激勵的迭加 ：
p
(
t
)
≈
∑
p
(
τ
)
⋅
Δ
τ
⋅
δ
(
t
−
τ
)
{\displaystyle p(t)\approx \sum {p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot \delta }(t-\tau )}
那麼根據線性性質可知，系統的響應同樣可以表示成對這一系列脈衝激勵的響應函數 的迭加 ：
x
(
t
)
≈
∑
p
(
τ
)
⋅
Δ
τ
⋅
h
(
t
−
τ
)
{\displaystyle x(t)\approx \sum {p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot h}(t-\tau )}
在
Δ
τ
→
0
{\displaystyle \Delta \tau \to 0}
積分 ，此時上面的等式是嚴格成立的
x
(
t
)
=
∫
0
t
p
(
τ
)
h
(
t
−
τ
)
d
τ
{\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}{p(\tau )h(t-\tau )d\tau }}
將h (t -τ )的表達式代入即得杜哈梅積分的一般形式：
x
(
t
)
=
1
m
ω
d
∫
0
t
p
(
τ
)
e
−
ς
ω
n
(
t
−
τ
)
sin
[
ω
d
(
t
−
τ
)
]
d
τ
{\displaystyle x(t)={\frac {1}{m\omega _{d}}}\int _{0}^{t}{p(\tau )e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]d\tau }}
參考文獻 [ 編輯 ] 倪振華 編著，《振動力學》，西安交通大學出版社，西安，1990
R. W. Clough, J. Penzien, Dynamics of Structures , Mc-Graw Hill Inc., New York, 1975.（中文版：R.W.克拉夫，J.彭津 著，王光遠等 譯，《結構動力學》，科學出版社，北京，1981）
Anil K. Chopra, Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering , Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001
Leonard Meirovitch, Elements of Vibration Analysis , Mc-Graw Hill Inc., Singapore, 1986 
![{\displaystyle h(t-\tau )={\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c34a9eae34b65ecb931805469729d89980b062df)
![{\displaystyle x(t)={\frac {1}{m\omega _{d}}}\int _{0}^{t}{p(\tau )e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]d\tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c0ed3008e174abb7933a0a1cf0b64cb174a539)