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格尔丰德-施奈德定理

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格尔丰德-施奈德定理(英語:Gelfond–Schneider theorem)是一个可以用于证明许多数的超越性的结果。这个定理由苏联数学家亚历山大·格尔丰德英语Alexander Gelfond和德国数学家西奧多·施耐德在1934年分别独立证明,它解決了希尔伯特第七问题

表述

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如果代数数,其中,且不是有理数,那么任何的值一定是超越数

评论

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  • 不限于实数,也可以是虚部不为零的复数。因此,可以是多值的,其中“log”表示复数对数,且该定理对每个值都是成立的。
  • 该定理的一个等价的表述是:如果 是非零的代数数,那么 要么是有理数,要么是超越数。
使用反證法。
假設 不為超越數,也不為有理數,即為代數數
根據此定理, 為超越數
卻是代數數,矛盾。
要么是有理数,要么是超越数。
  • 如果没有 是代数数的限制,这个定理未必成立。例如:
    • 為超越數(由本定理可得知), 為代數數,則
,是代數數。
    • 為代數數, 為超越數,則
,是代数数。

定理的应用

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利用这个定理,立刻就可以推出以下实数的超越性:

参见

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参考文献

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