正规模态逻辑

在逻辑中，正规模态逻辑是模态公式的集合 $L$，$L$ 包含

• 所有命题重言式，
• 所有满足 Kripke 模式的实例: $\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)$，

并且 $L$ 闭合于

• 分拆规则（肯定前件）: $A\rightarrow B,A\vdash B$，
• 必然性规则: 从 $\vdash A$ 推出 $\vdash \Box A$。

最小化的满足上述条件的逻辑叫做 K。大多数如今常用的模态逻辑（指有哲学动机的）如C. I. 刘易斯的S4与S5皆为在K基础之上的扩展。然而也有一部分如道义逻辑与认识逻辑是非正规的，因为它们舍弃了Kripke模式。

常见的模态逻辑

下表给出了一些常见的模态逻辑系统。表中的标记可参见 Kripke 语义 § 常见模态公理模式。 某些系统的框架条件要求被简化了，它们在给定的框架类中完备，但是可能对应一个更大的框架类。

名称	公理	框架条件
K	—	所有框架
T	T	自反
K4	4	传递
S4	T, 4	预序
S5	T, 5 或 D, B, 4	等价关系
S4.3	T, 4, H	完全预序
S4.1	T, 4, M	预序, $\forall w\,\exists u\,(w\,R\,u\land \forall v\,(u\,R\,v\Rightarrow u=v))$
S4.2	T, 4, G	有向预序
GL	GL or 4, GL	有穷严格偏序
Grz, S4Grz	Grz or T, 4, Grz	有穷偏序
D	D	serial
D45	D, 4, 5	传递，全序且欧拉

参见

• Alexander Chagrov and Michael Zakharyaschev, Modal Logic, vol. 35 of Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.