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{{noteTA|G1=物理學|1=zh-hans:本征; zh-hant:本徵;|2=zh-hans:复函数; zh-hant:複函數;|3=zh-hans:轨道; zh-hant:軌域;|42=zh-hans:杂化; zh-hant:混成;|5=zh-hans:能级; zh-hant:能階;|G2=Chemistry}}
{{向量字體}}
{{Not|波動方程式}}
[[File:QuantumHarmonicOscillatorAnimation.gif|200px|thumb|right|設想經典力學裏的[[諧振子 ]]系統（A-B），一條[[彈簧]]的一端固定不動，另一端有一個帶質量圓球；在[[量子力學]]裏， （C-H）展示出同樣系統的[[薛丁格方程式]]的六個波函數解。橫軸坐標表示位置，豎軸坐標表示波函數[[機率幅]]的實部（藍色）或虛部（紅色）。（C-F）是定態，（G、H）不是定態。定態的能量為[[駐波]]振動頻率與約化普朗克常數的乘積。]]
{{量子力学}}

在[[量子力學]]裏，量子系統的[[量子態]]可以用'''波函數'''（{{lang-en|Wave function}}）來描述。[[薛丁格方程式]]設定波函數如何隨著時間流逝而演化。{{notetag|從數學角度來看，薛丁格方程式乃是一種[[波動方程式]]，因此，波函數具有類似波的性質。這說明了波函數這術語的命名原因。}}

波函數 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 是一種[[複值]][[函數]]，表示粒子在位置 <math>\mathbf{r}</math> 、時間 <math>t</math> 的[[機率幅]]，它的絕對值平方 <math>|\Psi(\mathbf{r},t)|^2</math> 是在位置 <math>\mathbf{r}</math> 、時間 <math>t</math> 找到粒子的[[機率密度]]。以另一種角度詮釋，波函數<math>\Psi (\mathbf{r},t)</math>是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。<ref>{{cite journal
 | last =Hobson
 | first =Art
 | title =There are no particles, there are only fields
 | journal =American Journal of Physics
 | volume =81
 | issue =211
 | year =2013
 | url =http://arxiv.org/abs/1204.4616
 | doi =10.1119/1.4789885
 | access-date =2014-09-25
 | archive-date =2015-02-10
 | archive-url =https://web.archive.org/web/20150210063318/http://arxiv.org/abs/1204.4616
 | dead-url =no
 }}</ref>{{notetag|波函數的概念在量子力學裏非常基礎與重要，諸多關於量子力學詮釋像謎一樣之結果與困惑，都源自於波函數，甚至今天，這些論題仍舊尚未獲得滿意解答。}}

== 歷史 ==
[[File:Broglie Big.jpg|right|thumb|150px|路易·德布羅意]]
[[File:Erwin Schrodinger2.jpg|right|thumb|150px|埃爾溫·薛丁格]]
在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為[[路易·德布羅意]]和[[埃爾溫·薛丁格]]等等，他們使用的數學工具是[[微積分]]，他們共同創建了[[波動力學]]。第二個陣營的成員主要為[[維爾納·海森堡]]和[[馬克斯·玻恩]]等等，使用[[線性代數]]，他們建立了[[矩陣力學]]。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。<ref>
{{Citation
  | last = Hanle
  | first = P.A.
  | title = Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory.
  | journal = Isis
  | volume = 68
  | issue = 4
  | pages = 
  | date = December 1977
  | doi = 10.1086/351880
}}</ref>{{rp|606–609}}

德布羅意於1924年提出的[[德布羅意假說]]表明，每一種微觀粒子都具有[[波粒二象性]]。[[電子]]也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的[[物質波]]頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的[[波動方程式]]，這點子給予[[埃爾溫·薛定諤]]極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考[[威廉·哈密頓]]先前關於[[牛頓力學]]與[[光學]]之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零[[波長]]極限，[[物理光學]]趨向於[[幾何光學]]；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守[[最小作用量原理]]。哈密頓認為，在零波長極限，[[波傳播]]趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從[[哈密頓-雅可比方程]]成功地推導出薛定谔方程式。<ref name="Moore1992"/>{{rp|207}}他又用自己設計的方程式來計算[[氫原子]]的[[譜線]]，得到的答案與用[[波耳模型]]計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界<ref>{{Citation|last = 薛定諤|first = 埃尔温|author-link = 薛定諤|title = Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen|publisher = Annalen der Physik, (Leipzig)|year = 1926|volume = 79|url = http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schrodinger1926c.pdf|accessdate = 2013-06-10|archive-date = 2008-12-17|archive-url = https://web.archive.org/web/20081217040132/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schrodinger1926c.pdf|dead-url = yes}}
[德文原稿]</ref><ref name=Helge>{{cite book
 | last =Kragh
 | first =Helge
 | title =Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century
 | publisher =Princeton University Press
 | edition =illustrated, reprint
 | date =2002
 | isbn =9780691095523
}}</ref>{{rp|163-167}}。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。

薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出[[機率幅]]的概念，成功地解釋了波函數的物理意義<ref name="Moore1992">{{Citation|last=Moore|first=Walter John|title=Schrödinger: Life and Thought|year=1992| location=England | publisher=Cambridge University Press| isbn=0-521-43767-9 | language=en}}</ref>{{rp|219-220}}。可是，薛定諤本人不贊同這種[[統計]]或[[機率]]方法，和它所伴隨的非連續性[[波函數塌縮]]，如同愛因斯坦認為量子力學只是個[[決定論|決定性理論]]的統計近似，薛定諤永遠無法接受[[哥本哈根詮釋]]。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明了這意見。<ref name="Moore1992"/>{{rp|479}}

1927年，[[道格拉斯·哈特里]]與[[弗拉基米尔·福克]]在對於[[多體問題|多體]]波函數的研究踏出了第一步，他們發展出[[哈特里－福克方程]]來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。<ref>{{cite book
 | last1 =Atkins
 | first1 =Peter
 | last2 =de Paula
 | first2 =Julio
 | title =Physical Chemistry
 | url =https://archive.org/details/atkinsphysicalch00pwat
 | publisher =W. H. Freeman
 | edition =8th
 | date =2006
 | isbn =978-0716787594 }}</ref>{{rp|344-345}}

薛定谔方程式不具有[[勞侖茲不變性]] ，无法准确给出符合相对论的结果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相对论性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合[[阿諾·索末菲]]的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。<ref name="Moore1992"/>{{rp|196-197}}<ref name=McMahon>{{cite book
 | last =McMahon
 | first =David
 | title =Quantum Field Theory Demystified
 | url =https://archive.org/details/quantumfieldtheo0000mcma
 | publisher =McGraw Hill Professional
 | date =2008
 | isbn =9780071643528
}}</ref>{{rp|3}}

1926年，[[奥斯卡·克莱因]]和[[沃尔特·戈尔登]]將[[電磁相對作用]]納入考量，獨立地給出薛定谔先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為[[克莱因-戈尔登方程式]]。<ref name=McMahon/>{{rp|3}}

1928年，[[保羅·狄拉克]]最先成功地統一了[[狹義相對論]]與量子力學，他推導出[[狄拉克方程式]]，適用於電子等等[[自旋]]為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個[[旋量]]，擁有自旋性質。<ref name=Helge/>{{rp|167}}

==概述==
[[File:1D Wavefunctions with Energies.svg|right|200px|thumb|在一維[[無限深方形阱]]內，粒子的能級與對應的波函數。]]
[[File:1D Probability Density with Energies.svg|right|200px|thumb|在一維無限深方形阱內，找到能級為 <math>n</math> 的粒子的機率。]]

===位置空間波函數===
假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為 <math>\Psi(x,t)</math> ；其中，<math>x</math> 是位置，<math>t</math> 是時間。波函數是[[复数 (数学)|複值]]函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置 <math>x</math> 在區間 <math>[a,b]</math> （即 <math>a\le x\le b</math> ）的[[機率]]<math>P_{a\le x\le b}</math>為
:<math>P_{a\le x\le b} = \int_a^b \,|\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d} x</math> ；

其中，<math>t</math> 是對於粒子位置做測量的時間。

換句話說，<math>|\Psi(x,t)|^2</math> 是粒子在位置 <math>x</math> 、時間 <math>t</math> 的機率密度。

這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%：
:<math>\int_{-\infty}^\infty  \, |\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d}x = 1</math> 。

===動量空間波函數===
在動量空間，粒子的波函數表示為 <math>\Phi(p,t)</math> ；其中，<math>p</math> 是一維動量，值域從 <math>-\infty</math> 至 <math>+\infty</math> 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量 <math>p</math> 在區間 <math>[a,b]</math> （即 <math>a\le p\le b</math> ）的機率為
:<math>P_{a\le p\le b} = \int_a^b \,|\Phi(p,t)|^2 \mathrm{d}p</math> 。

動量空間波函數的歸一化條件也類似：
:<math> \int_{-\infty}^{\infty} \, \left | \Phi ( p, t ) \right |^2 \mathrm{d}p = 1</math> 。

===兩種波函數之間的關係===
[[File:Quantum mechanics travelling wavefunctions.svg|right|250px|thumb|本圖展示一維零自旋[[自由粒子]]的波函數範例，左邊是位置空間波函數 <math>\Psi(x)</math> 的實部（紫色）和機率密度 <math>|\Psi(x)|^2</math> （紅色），右邊是動量空間波函數 <math>\Phi(p)</math> 的實部（金色）和機率密度 <math>|\Phi(p)|^2</math> （藍色）。在x-軸的某位置 <math>x</math> 或p<sub>x</sub>-軸的某動量 <math>p</math> 顯示出的粒子顏色的不透明度，分別表示在那位置 <math>x</math> 或動量 <math>p</math> 找到粒子的機率密度（不是波函數的機率幅）。]]
位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的[[傅立葉變換]]。他們各自擁有的信息相同，任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為<ref name=Griffiths2004>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|108}}
:<math>\Phi(p,t)  = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty  \, e^{-ipx/\hbar} \Psi(x,t) \mathrm{d}x</math> 、
:<math>\Psi(x,t)  = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty  \, e^{ipx/\hbar} \Phi(p,t) \mathrm{d}p</math> 。

===波函数实质===
量子力学中体系的态实际上由一个希尔伯特空间里的 <math>|\mathfrak{J}(t)\rangle</math> 矢量来描述。我们可以用任何不同的基来表示它。<ref name=":0" />

波函数 <math>\Psi(x, t)</math> 实际上是 <math>|\mathfrak{J}(t)\rangle</math> 在坐标本征函数为基上展开的<math>x</math>“分量”：

:<math>
\Psi(x, t)=\langle x \mid \mathfrak{J}(t)\rangle,
</math>

（这里基矢量 <math>|x\rangle</math> 对应于本征值为 <math>x</math> 的算符 <math>\hat{x}</math> 的本征函数）。<ref name=":0" />

动量空间波函数 <math>\Phi=(p, t)</math> 是 <math>|\mathfrak{J}(t)\rangle</math> 用动量本征函数的基展开时的展开系数:

:<math>
\Phi(p, t)=\langle p \mid \mathfrak{\Im}(t)\rangle
</math>

（这里基矢量 <math>|p\rangle</math> 对应于属于本征值 <math>p</math> 的 <math>\hat{p}</math> 的本征函数）<ref name=":0">{{Cite book|title=Introduction to quantum mechanics|last=J. Griffiths|first=David|last2=F. Schroeter|first2=Darrell|publisher=Cambridge University Press|year=2018|isbn=978-1-107-18963-8|edition=Third edition|pages=114-115|chapter=CHAPTER 3 Formalism}}</ref>{{noteTag|1= 在位置空间它应该为<math>f_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} p x / \hbar}</math>}} 。

我们也可以把 <math>|\mathfrak{F}(t)\rangle</math> 用能量本征函数的基展开（简单起见，假设谱是分立的）：

:<math>
c_n(t)=\langle n \mid \mathfrak{\Im}(t)\rangle
</math>

（这里基矢量 <math>|n\rangle</math> 对应属于 <math>\hat{H}</math> 的第 <math>n</math> 个本征函数：<math>c_n=\left\langle f_n \mid \Psi\right\rangle=\int f_n(x)^* \Psi(x, t) \mathrm{d} x</math>) 。<ref name=":0" />

波函数 <math>\Psi</math> 与 <math>\Phi</math> 和系数的集合 <math>\left\{c_n\right\}</math> ，所有这些所表示的都是同一个状态，包含完全一样的信息——它们仅是描述同一矢量的三种不同途径而已<ref name=":0" />：

:<math>
|\mathfrak{J}(t)\rangle  \rightarrow \int \Psi(y, t) \delta(x-y) d y=\int \Phi(p, t) \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{i p x / \hbar} d p 
 =\sum c_n e^{-i E_n t / \hbar} \psi_n(x) 
</math>


==薛丁格方程式==
在一維空間裏，運動於[[位勢]] <math>V(x)</math> 的單獨粒子，其波函数滿足[[含時薛丁格方程式]]
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)</math> ；

其中，<math>m</math> 是[[質量]]，<math>\hbar</math> 是[[約化普朗克常數]]。

[[不含時薛丁格方程式]]與時間無關，可以用來計算粒子的[[本徵值|本徵能量]]與其它相關的量子性質。應用[[分離變數法]]，猜想 <math>\Psi(x,\,t)</math> 的函數形式為
:<math>\Psi(x,\,t)= \psi_E(x) e^{ - iEt/\hbar}</math> ；

其中，<math>E</math> 是分離常數，稍加推導可以論定 <math>E</math> 就是[[能量]]，<math>\psi_E(x)</math> 是對應於 <math>E</math> 的[[本徵函數]]。

代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_E(x)+V(x)\psi_E(x)=E\psi_E(x) </math> 。

== 波函数的概率诠释 ==
波函数 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 是概率波。其模的平方 <math>\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,</math> 代表粒子在该处出现的[[概率密度]]，并且具有归一性，全空间的积分

:<math>\int\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,d^3\,x=1</math> 。

波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的[[双缝实验|杨氏双缝实验]]。

== 波函数的本征值和本征态 ==
在量子力学中，[[可观察量]] <math>A</math> 以算符 <math>\hat{A}</math> 的形式出现。<math>\hat{A}</math> 代表对於波函数的一种运算。例如，在位置空間裏，动量算符 <math>\hat{\mathbf{p}}</math> 的形式為
:<math>\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla</math> 。

可观察量 <math>A</math> 的本徵方程式為
:<math>\hat{A}\psi=a\psi</math> 。

对应的 <math>a</math> 称为算符 <math>\hat{A}</math> 的[[本徵值]]，<math>\psi</math> 称为算符 <math>\hat{A}</math> 的[[本徵態]]。假設對於 <math>\hat{A}</math> 的本徵態 <math>\psi</math> 再測量可观察量 <math>A</math> ，則得到的結果是本徵值 <math>a</math> 。

== 态叠加原理 ==
假設對於某量子系統測量可觀察量 <math>A</math> ，而可觀察量 <math>A</math> 的本徵態 <math>|a_1\rang</math> 、<math>|a_2\rang</math> 分別擁有本徵值 <math>a_1</math> 、<math>a_2</math> ，則根据[[薛定谔方程]]的[[线性关系]]，疊加態 <math>|\psi\rang</math> 也可以是這量子系統的量子態：
:<math>|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang</math> ；

其中， <math>c_1</math> 、<math>c_2</math> 分別為疊加態處於本徵態 <math>|a_1\rang</math> 、<math>|a_2\rang</math> 的[[機率幅]]。

假設对這疊加態系統测量[[可观察量]] <math>A</math> ，則測量獲得數值是 <math>a_{1}</math> 或 <math>a_{2}</math> 的機率分別為 <math>|c_{1}|^2</math> 、<math>|c_{2}|^2</math> ，[[期望值]]為<!--from 態疊加原理-->
:<math>\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2</math> 。

== 定态 ==
[[File:StationaryStatesAnimation.gif|250px|thumb|right|描述諧振子的含時薛丁格方程式的三個波函數解。左邊：波函數[[機率幅]]的實部（藍色）或虛部（紅色）。右邊：找到粒子在某位置的機率，這說明了為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態，最下面橫排是疊加態 <math>\psi_N =(\psi_0+\psi_1)/\sqrt{2}</math> 。]]
在[[量子力学]]中，一类基本的问题是[[哈密顿算符]] <math>\hat{H}</math> 不含时间的情况。對於這問題，應用[[分離變數法]]，可以將波函數 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 分離成一个只与位置有关的函数 <math>\psi (\mathbf{r})</math> 和一个只与时间有关的函数 <math>f(t)</math> ：
:<math>\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})f(t)</math> 。

將這公式代入[[薛定谔方程]]，就会得到
: <math>f(t)=\exp{(-iEt/\hbar )}</math> 。

而 <math>\psi(\mathbf{r})</math> 则满足[[不含時薛丁格方程式|本徵能量薛丁格方程式]]：
:<math>\hat{H}\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r})</math> 。

== 例子 ==

=== 自由粒子 ===

{{main|自由粒子}}

3D空间中的自由粒子，其[[波矢]] 为{{math|'''k'''}} ， [[角频率]] 为{{math|''ω''}}，其波函数为：

:<math>\Psi (\mathbf{r},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\,.</math>

=== 無限深方形阱 ===

{{main|無限深方形阱}}

粒子被限制在{{math|''x'' {{=}} 0}}和{{math|''x'' {{=}} ''L''}}之间的1D空间中，其波函数为:<ref name=Griffiths2004>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|30-38}}

:<math>\begin{align} 
\Psi (x,t) & = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-i\omega_n t}, & \quad 0 \leq x \leq L \\
\Psi (x,t) & = 0, & x < 0, x > L \\
\end{align} </math>

其中，<math>\hbar\omega_n=\frac{n^2 h^2}{8mL^2}</math>是能量本徵值，<math>n</math>是正整數，<math>m</math>是質量。

===有限位势垒===
{{main|有限位势垒|量子穿隧效應}}
[[Image:Finitepot.png|thumb|right|对于一个垒高为 V<sub>0</sub> 的位势垒的散射。往左与往右的量子波的波幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的量子波都以红色表示]]

在1D情况下，粒子处于如下势垒中：
:<math>V(x)=\begin{cases}V_0 & |x|<a \\ 0 & \text{otherwise,}\end{cases}</math>
其波函数的定态解为(<math>k, \kappa</math>为常数)
:<math>\psi (x) = \begin{cases}
A_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+A_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x<-a, \\ 
B_{\mathrm{r}}\exp(\kappa x)+B_{\mathrm{l}}\exp(-\kappa x) & |x|\le a, \\ 
C_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+C_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x>a.
\end{cases}
</math>

=== 量子点 ===
[[File:Quantum dot.png|thumb|330px|right|量子点中3D受束缚的电子波函数。如图所示为方形和三角形量子点。方形量子点中的电子态更像[[s轨道]]和[[p轨道]]。然而，由于不同的几何形态导致不同的束缚，三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。|link=File:QuantumDot_wf.gif]]
'''量子点'''是在把[[激子]]在三个空间方向上束缚住的[[半导体]][[纳米结构]]。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自組量子点中），半导体的表面（例如：半导体[[纳米晶体]]），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似[[無限深方形阱]]的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。

== 参閱 ==
* [[波包]]

== 参考文獻 ==
{{reflist}}

==注释==
{{notefoot}}

{{Quantum mechanics topics}}
[[Category:函数|B]]
[[Category:量子力学|B]]