查看“︁面积”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|G2 = Unit
|1 = zh:鷂形;zh-cn:筝形;zh-hk:鳶形;zh-tw:鳶形;
}}
'''面積'''（{{Lang-en|Area}}）是用作表示一個[[曲面]]或[[平面 (数学)|平面]][[圖形]]所佔範圍的[[量 (數學)|量]]，可看成是[[長度]]（一維度量）及[[體積]]（三維度量）的二維類比。對三維立體圖形而言，圖形的邊界的面積稱為[[表面積]]。

[[計算]]各基本平面圖形面積及基本立體圖形的表面積公式早已為[[古希臘]]及古[[中國]][[人]]所熟知。

面積在近代[[數學]]中佔相當重要的角色。面積除與[[幾何學]]及[[微積分]]有關外，亦與[[線性代數]]中的[[行列式]]有關。在[[分析學]]中，平面的面積通常以[[勒貝格測度]]（{{lang-en|Lebesgue measure}}）[[定義]]。

== 面積公式 ==
{| class="wikitable"
|+ 其他面積公式
! 形狀
! 面積
! 變數
|-
|[[三角形]]<ref name=MathWorld/>
|<math>\tfrac12bh \,\!</math>
|<math>b</math>是底，<math>h</math>是高。
|-
|[[三角形]]<ref name=AF/>
|<math>\tfrac12 a b \sin {\theta}\,\!</math>
|<math>a</math>和<math>b</math>是任意兩條邊，而<math>\theta</math>是兩條邊的夾角。
|-
|[[三角形]]<ref name=MathWorld>{{cite mathworld|urlname=Area|title=Area|accessdate=3 July 2012|archive-date=2012-05-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20120505085753/http://mathworld.wolfram.com/Area.html|dead-url=no}}</ref>
|<math>\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\,\!</math>
|<math> s </math>是[[周長]]的一半，<math>a</math>﹑<math>b</math>和<math>c</math>是三條邊的長度。
|-
|[[等邊三角形]]
||<math>\frac\sqrt{3}{4}s^2\,\!</math>
||<math>s</math>是等邊三角形的邊長。
|-
|[[等腰三角形]]
|<math>\frac{b}{4}\sqrt{(2a+b)(2a-b)}</math>
||<math>a</math>是腰邊，<math>b</math>是底邊。
|-
|[[正方形]]<ref name=AF/>
|<math>s^2\,\!</math>
|<math>s</math>是正方形的邊長。
|-
|[[長方形]]<ref name=AF/>
|<math>lw\,\!</math>
|<math>l</math>和<math>w</math>分別是長方形的長和寬。
|-
|[[菱形]]、[[鷂形]]
|<math>\tfrac12ab</math>
|<math>a</math>和<math>b</math>分別是 菱形/鷂形 的兩條[[對角線]]。
|-
|[[菱形]]
|<math>a^2\sin {\theta}\,\!</math>
|<math>a</math>是邊長，<math>\theta</math>是鄰邊的夾角。
|-
|[[平行四邊形]]
|<math>bh\,\!</math>
|<math>b</math>是底，<math>h</math>是高。
|-
|[[平行四邊形]]
|<math>ab\sin {\theta}\,\!</math>
|<math>a</math>和<math>b</math>是一對鄰邊，而<math>\theta</math>是這對鄰邊的夾角。
|-
|[[梯形]]
|<math>\frac{(a+b)h}{2} \,\!</math>
|<math>a</math>和<math>b</math>是平行的邊，<math>h</math>是平行的邊之間的高。
|-
|[[凸四邊形]]
|<math>\tfrac12 x y \sin {\theta}\,\!</math>
|<math>x</math>和<math>y</math>是凸四邊形兩條[[對角線]]的[[長度]]，<math>\theta</math>是對角線的夾角。
|-
|[[正五邊形]]
|<math>\frac{5}{4}s^2\tan 54^\circ\,\!</math>
|<math>s</math>是正五邊形的邊長。
|-
|[[正六邊形]]
|<math>\frac{3}{2}s^2\tan 60^\circ = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2</math>
|<math>s</math>是正六邊形的邊長。
|-
|[[正六邊形]]
|<math>\frac {3hs} {2}</math>
|<math>s</math>是正六邊形的邊長，<math>h</math>是邊與對邊之間的距離。
|-
|[[正七邊形]]
|<math>\frac{7}{4}s^2\tan(64\tfrac27 ^\circ)\,\!</math>
|<math>s</math>是正七邊形的邊長。
|-
|[[正八邊形]]
|<math>2s^2\tan(67\tfrac12 ^\circ)= 2(1+\sqrt{2})s^2\,</math>
|<math>s</math>是正八邊形的邊長。
|-
|[[正九邊形]]
|<math>\frac{9}{4}s^2\tan 70^\circ\,\!</math>
|<math>s</math>是正九邊形的邊長。
|-
|[[正十邊形]]
|<math>\frac{5}{2}s^2\tan 72^\circ\,\!</math>
|<math>s</math>是正十邊形的邊長。
|-
|[[正多邊形]]<ref>{{cite web |url = https://www.mathopenref.com/polygonregulararea.html |title = Area of a Regular Polygon |trans-title = 正多邊形的面積 |language = en |website = mathwords.com |access-date = 2021-09-23 |archive-date = 2022-01-04 |archive-url = https://web.archive.org/web/20220104011150/https://www.mathopenref.com/polygonregulararea.html |dead-url = no }}</ref>
|<math>\frac{1}{4}nl^2\cdot \cot\frac{\pi}{n}\,\!</math>
|<math>   l   </math>是邊長而<math>n</math>是邊數量。
|-
|[[正多邊形]]
|<math>\frac{1}{4n}p^2\cdot \cot\frac{\pi}{n}\,\!</math>
|<math>   p   </math>是周長<math>n</math>是邊數量。
|-
|[[正多邊形]]
|<math>\frac{1}{2}nR^2\cdot \sin\frac{2\pi}{n} = nr^2 \tan\frac{\pi}{n}\,\!</math>
|<math>   R   </math>是[[外切圓]]的半徑，<math>r</math>[[內切圓]]的半徑，而<math>n</math>是邊數量。
|-
| [[正多邊形]]
|<math>\tfrac12a p \,\!</math>
|<math>a</math>是[[邊心距]]，或稱作內切圓的半徑，而<math>p</math>是多邊形的周長。
|-
|[[圓形]]
|<math>\pi r^2\ \text{or}\ \frac{\pi d^2}{4} \,\!</math>
|<math>r</math>是半徑，<math>d</math>是直徑。
|-
|[[扇形]]
|<math>\pi r^2\cdot \frac{\theta}{360^\circ}\,\!</math>
|<math>r</math>和<math>\theta</math>分別是半徑和角度。
|-
|[[橢圓形]]<ref name=AF/>
|<math>\pi ab \,\!</math>
|<math>a</math>和<math>b</math>分別是[[半長軸]]和[[半短軸]]。
|-
|[[圓柱體]][[表面]]面積
|<math>2\pi r (r + h)\,\!</math>
|<math>r</math>和<math>h</math>分別是半徑和高。
|-
|[[圓柱體]][[側表面]]面積
|<math>2 \pi r h \,\!</math>
|<math>r</math>和<math>h</math>分別是半徑和直徑。
|-
|[[球體]][[表面]]面積
|<math>4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2\,\!</math>
|<math>r</math>和<math>d</math>分別是半徑和直徑。
|-
|[[錐體]][[表面]]面積<ref name=MathWorldSurfaceArea>{{cite mathworld|urlname=SurfaceArea|title=Surface Area|accessdate=3 July 2012|archive-date=2012-06-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20120623021029/http://mathworld.wolfram.com/SurfaceArea.html|dead-url=no}}</ref> 
|<math>B+\frac{P L}{2}\,\!</math>
|<math>B</math>是底面積，<math>P</math>是底周長而，<math>L</math>是斜高。
|-
|[[錐體]][[平截頭體]]的[[表面]]面積<ref name=MathWorldSurfaceArea/>
|<math>B+\frac{P L}{2}\,\!</math>
|<math>B</math>是底面積，<math>P</math>是底周長，<math>L</math>是斜高。
|-
|[[正方形]]轉換成[[圓形]]段面積
|<math>\frac{4}{\pi} A\,\!</math>
|<math>A</math>是正方形面積。
|-
|[[圓形]]轉換成[[正方形]][[後面]]積
|<math>\frac{1}{4} C\pi\,\!</math>
|<math>C</math>是圓形面積。
|-
|[[勒洛三角形]]
|<math>{1\over2}(\pi - \sqrt3)x^2</math>
|<math>x</math>是勒洛三角形內三角形的邊。
|}

==長方形的面積==
[[File:RectangleLengthWidth.svg|thumb|right|180px|alt=A rectangle with length and width labelled|這個長方形的面積是&nbsp;{{mvar|lw}}.]]
最基本的面積公式是[[長方形]]的公式。當''l''是長，''w''是寬時，其公式為：<ref name=AF>{{cite web|url=http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|title=Area Formulas|publisher=Math.com|accessdate=2 July 2012|archive-date=2012-07-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20120702135710/http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm|dead-url=no}}</ref>

<math>A=lw</math>

當其圖形是一個[[正方形]]時，<math>l = w</math>，因此正方形的公式為：<ref name=AF />

<math>A=s^2</math>

長方形的面積計算方法需要證明。

====證明<ref>mathdb.org - {{cite web |url=http://www.mathdb.org/competition/essay/0708/entries/senior_bronze_2.pdf |title=存档副本 |accessdate=2016-06-12 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140725195352/http://www.mathdb.org/competition/essay/0708/entries/senior_bronze_2.pdf |archivedate=2014-07-25 }}</ref>====

[[File:Area formula of rectangle.png|thumb|350px|證明]]
[[引理]]：兩個長方形面積之比等於其長寬之積之比

如圖，根據《[[幾何原本]]》第六卷命題一 ——等高之平行四邊形的面積比與其底之比等同<ref>{{cite web|title=Euclid's Elements Book VI Proposition 1|url=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI1.html|accessdate=2014-12-30|archive-date=2017-06-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20170630060902/http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI1.html|dead-url=no}}</ref>，我們得到

:<math>\begin{align}B:Y &= a:c \\
&= ad:cd \text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）},
\end{align}
</math>

又
:<math>
\begin{align}Y:G &= b:d \\
&=ab:ad \text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）},
\end{align}
</math>
所以
:<math>B:G=ab:cd \text{（ 第 五 卷 命 題 二 十 三 ）},</math>
引理證畢。

定理：長方形的面積等於其長寬之積
:
根據引理，
A:R=lw:(1x1)

定義[[單位正方形]]的面積為一平方單位。由於R是單位正方形，因此面積是一平方單位。將一平方單位代入R，得到：A:1=lw:1
::<math>A=lw</math> （第五卷命題九）

（定理證畢）

[[File:ParallelogramArea.svg|thumb|left|180px|alt=A diagram showing how a parallelogram can be re-arranged into the shape of a rectangle|面積相同]]

====切割圖形====
有些簡單的公式可以切割的方式得出。

例如平行四邊形，可以切割成一個梯形和一個直角三角形，如同右圖。如果三角形移到平行四邊形的另一邊，就可以變成一個長方形。因此，平行四邊形的面積公式有點像長方形的：<ref name=AF/>

<math>A=bh</math>
[[File:TriangleArea.svg|thumb|right|180px|alt=A parallelogram split into two equal triangles|兩個全等三角形]]
至於同樣的平行四邊形可以分割為兩個全等三角形。因此三角形的公式為：<ref name=AF/>

<math>A = \frac{1}{2}bh</math>

====圓形面積====
{{main article|圓的面積}}
[[File:CircleArea.svg|thumb|right|alt=A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram|圓形可以分割為很多扇形]]
圓形面積公式是基於基本的面積公式，假設有一個半徑為r的圓形，分成很多扇形，那一個扇形的面積就會很接近三角形，就像上圖一樣。如果分得夠細小，就可以看到半徑為r的圓形面積相等於一個高為r，底為πr的平行四邊形。<ref name=Surveyor>{{cite journal|last1=Braden|first1=Bart|date=September 1986|title=The Surveyor's Area Formula|journal=The College Mathematics Journal|volume=17|issue=4|pages=326–337|publisher=|doi=10.2307/2686282|url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|accessdate=15 July 2012|archive-date=2012-06-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20120627180152/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf|dead-url=no}}</ref>

我們也可以用[[積分]]得到更肯定的答案。
:<math>A=2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx=\pi r^2.</math>

計算不規則之圖形面積，可用填補法或切割法來計算之。

====表面積====
{{Main|表面積}}
一些基本的立體'''表面積'''公式：
* [[立方體]]：<math>6 x^2</math>（''x''是立方體的邊長）
* [[長方體]]：<math>2 (lw + wh + hl)</math>（''l''、''w''、''h''分別是長方體的長、寬和高）
* [[球體]]：<math>4 \pi r^2</math>（''r''是球體的半徑）
* [[球冠]]：<math>2 \pi rh</math>（球冠是指被平面截下的部分球面；''r''是球體的半徑；''h''是球冠高）
* 直立[[圓錐體]]：<math>\pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2})</math>（''r''是圓錐體底部的半徑，''h''是它的高）
* 直立[[圓柱體]]：<math>2 \pi r (h + r)</math>（''r''是圓柱體圓形底部的半徑，''h''是它的高）

==單位列表==
=== 主要單位 ===
面積的測量單位主要包括：
* [[平方公里]]——1,000,000平方米
* [[公頃|平方公引]]（ha）——10,000平方米
* [[公畝|平方公丈]]（a）——100平方米
* [[平方公尺]]——1平方米，[[國際標準單位]]
* [[平方分米|平方公寸]]——0.01平方米
* [[平方厘米|平方公分]]——0.0001平方分米
* [[平方毫米|平方公釐]]——0.000001平方厘米

市制：
* [[畝]]——10丈 × 6丈 ——33.33米 × 20米 ——666.67平方米
* [[平方市里]]——0.25平方公里
* [[平方市尺]]——1/9平方米

臺制：
* [[甲 (單位)|甲]]——9,699.173平方公尺（平方米）
* [[坪]]——3.3058平方公尺（平方米）

香港：
* [[平方呎]]（平方英尺）——929平方厘米

===換算===
{| class="wikitable" style="{{Table center}}"
|- style="text-align:center;"
| 名稱 || 符號 || 定義 || 與[[平方公尺]]的換算
|-
| 平方昆米 || Qm² || 邊長為1[[昆米]]的正方形的面積 || 10<sup>60</sup>
|-
| 平方容米 || Rm² || 邊長為1[[容米]]的正方形的面積 || 10<sup>54</sup>
|-
| 平方佑公尺、平方堯米 || Ym² || 邊長為1[[佑公尺]]（堯米）的正方形的面積 || 10<sup>48</sup>
|-
| 平方皆公尺、平方澤米 || Zm² || 邊長為1[[皆公尺]]（澤米）的正方形的面積 || 10<sup>42</sup>
|-
| 平方艾公尺 || Em² || 邊長為1[[艾米 (單位)|艾公尺]]的正方形的面積 || 10<sup>36</sup>
|-
| 平方拍公尺 || Pm² || 邊長為1[[拍公尺]]的正方形的面積 || 10<sup>30</sup>
|-
| 平方兆公尺、平方太米 || Tm² || 邊長為1[[兆公尺]]（太米）的正方形的面積 || 10<sup>24</sup>
|-
| 平方吉公尺 || Gm² || 邊長為1[[吉公尺]]的正方形的面積 || 10<sup>18</sup>
|-
| 平方百萬公尺、平方兆米 || Mm² || 邊長為1[[百萬公尺]]（兆米）的正方形的面積 || 10<sup>12</sup>
|-
| 平方公里、平方千米 || km² || 邊長為1[[公里]]（千米）的正方形的面積 || 10<sup>6</sup>
|-
| 平方公引、平方百米、公顷 || hm² || 邊長為1[[公引]]（百米）的正方形的面積 || 10<sup>4</sup>
|-
| 平方公丈、平方十米 || dam² || 邊長為1[[公丈]]（十米）的正方形的面積 || 10<sup>2</sup>
|-
| 平方公尺、平方米 || m² || 邊長為1[[公尺]]（米）的正方形的面積 || 1
|-
| 平方公寸、平方分米 || dm² || 邊長為1[[公寸]]（分米）的正方形的面積 || 10<sup>-2</sup>
|-
| 平方公分、平方厘米 || cm² || 邊長為1[[公分]]（厘米）的正方形的面積 || 10<sup>-4</sup>
|-
| 平方公厘、平方毫米 || mm² || 邊長為1[[公厘]]（毫米）的正方形的面積 || 10<sup>-6</sup>
|-
| 平方微米 || cm² || 邊長為1[[微米]]的正方形的面積 || 10<sup>-12</sup>
|-
| 平方奈米、平方納米 || nm² || 邊長為1[[奈米]]（納米）的正方形的面積 || 10<sup>-18</sup>
|-
| 平方皮米 || pm² || 邊長為1[[皮米]]的正方形的面積 || 10<sup>-24</sup>
|-
| 平方飛米 || fm² || 邊長為1[[飛米]]的正方形的面積 || 10<sup>-30</sup>
|-
| 平方阿米 || am² || 邊長為1[[阿米]]的正方形的面積 || 10<sup>-36</sup>
|-
| 平方介米、平方仄米 || zm² || 邊長為1[[介米]]（仄米）的正方形的面積 || 10<sup>-42</sup>
|-
| 平方攸米、平方幺米 || ym² || 邊長為1[[攸米]]（幺米）的正方形的面積 || 10<sup>-48</sup>
|-
| 平方柔米 || rm² || 邊長為1[[柔米]]的正方形的面積 || 10<sup>-54</sup>
|-
| 平方虧米 || qm² || 邊長為1[[虧米]]的正方形的面積 || 10<sup>-60</sup>
|}

==嚴格定義==
{{main|若爾當測度}}
其中一個定義面積的方法是利用[[公理]]定義。'''面積'''可以定義為一個由所有（[[可測集|可測]]）平面圖形組成的[[集合 (數學)|集合]]''M''映射至實數的函數''a''，並滿足以下條件：
* 對於所有<math>S \in M</math>，有<math>a(S) \ge 0</math>。
* 若<math>S, T \in M</math>，則<math>S \cup T \in M</math>及<math>S \cap T \in M</math>，且<math>a(S \cup T) = a(S) + a(T) - a(S \cap T)</math>。
* 若<math>S, T \in M</math>且<math>S \subseteq T</math>，則<math>T - S \in M</math>，且<math>a(T - S) = a(T) - a(S)</math>。
* 若<math>S \in M</math>且<math>S</math>全等於<math>T</math>，則<math>T \in M</math>，且<math>a(S) = a(I)</math>。
* 任一矩形<math>R</math>均屬於<math>M</math>。若矩形的長為<math>\ell</math>而寬為<math>w</math>，則<math>a(R) = \ell w</math>。
* 設<math>Q</matH>為一平面圖形。若存在唯一的實數<math>c</math>，使得所有滿足<math>S \subseteq Q \subseteq T</math>的有限個矩形的聯集（finite union of rectangles）<math>S</math>及<math>T</math>均有<math>a(S) \le c \le a(T)</math>，則<math>Q \in M</math>，且<math>a(Q) = c</math>。
可以證明，滿足上述條件的函數存在。
<ref name=Moise>{{cite book|last=Moise|first=Edwin|title=Elementary Geometry from an Advanced Standpoint|url=http://books.google.com/?id=7nUNAQAAIAAJ|accessdate=15 July 2012|year=1963|publisher= Addison-Wesley Pub. Co.|isbn=|page=}}</ref>

==腳注==
<references/>

== 外部連結 ==
*[http://www.kwuntung.net/hkunit/area/ 面積單位換算] {{Wayback|url=http://www.kwuntung.net/hkunit/area/ |date=20210417051432 }}

{{幾何術語}}
{{经典力学国际单位}}
{{Authority control}}
[[Category:平面幾何]]
[[Category:物理量]]
[[Category:面積|*]]