面积

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面积是一个用作表示一个曲面平面图形所占范围的,可看成是长度(一维度量)及体积(三维度量)的二维类比。对三维立体图形而言,图形的边界的面积称为表面积

计算各基本平面图形面积及基本立体图形的表面积公式早已为古希腊及古中国人所熟知。

面积在近代数学中占相当重要的角色。面积除与几何学微积分有关外,亦与线性代数中的行列式有关。在分析学中,平面的面积通常以勒贝格测度(Lebesgue measure)定义。

我们可以利用公理,将面积定义为一个由平面图形的集合映射至实数函数

面积公式[编辑]

多边形公式[编辑]

长方形[编辑]

A rectangle with length and width labelled
这个长方形的面积是 lw.

最基本的面积公式是长方形的公式。当l是长,w是宽时,其公式为:[1]

当其图形是一个正方形时,,因此正方形的公式为:[1]

长方形的面积计算方法需要证明。


证明[2][编辑]

证明

引理:两个长方形面积之比等于其长宽之积之比

如图,根据《几何原本》第六卷命题一 ——等高之平行四边形的面积比与其底之比等同[3],我们得到

B:Y=a:c

  =ad:cd (第五卷命題十五)

Y:G=b:d

  =ab:ad (第五卷命題十五)

B:G=ab:cd (第五卷命题二十三)

(引理证毕)

定理:长方形的面积等于其长宽之积

根据引理, A:R=lw:(1x1)

定义单位正方形的面积为一平方单位。由于R是单位正方形,因此面积是一平方单位。将一平方单位代入R,得到:A:1=lw:1

(第五卷命题九)

(定理证毕)

A diagram showing how a parallelogram can be re-arranged into the shape of a rectangle
面积相同

切割图形[编辑]

有些简单的公式可以切割的方式得出。

例如平行四边形,可以切割成一个梯形和一个直角三角形,如同右图。如果三角形移到平行四边形的另一边,就可以变成一个长方形。因此,平行四边形的面积公式有点像长方形的:[1]

A parallelogram split into two equal triangles
两个全等三角形

至于同样的平行四边形可以分割为两个全等三角形。因此三角形的公式为:[1]



圆形面积[编辑]

A circle divided into many sectors can be re-arranged roughly to form a parallelogram
圆形可以分割为很多扇形

圆形面积公式是基于基本的面积公式,假设有一个半径为r的圆形,分成很多扇形,那一个扇形的面积就会很接近三角形,就像上图一样。如果分得够细小,就可以看到半径为r的圆形面积相等于一个高为r,底为πr的平行四边形。[4]

我们也可以用积分得到更肯定的答案。

计算不规则之图形面积,可用填补法或切割法来计算之。

表面积[编辑]

一些基本的立体表面积公式:

  • 立方体x是立方体的边长)
  • 长方体lwh分别是长方体的长、宽和高)
  • 球体r是球体的半径)
  • 球冠(球冠是指被平面截下的部分球面;r是球体的半径;h是球冠高)
  • 直立圆锥体r是圆锥体底部的半径,h是它的高)
  • 直立圆柱体r是圆柱体圆形底部的半径,h是它的高)
其他面积公式
形状 面积 变数
三角形[5] 是底,是高。
三角形[1] 是任意两条边,而是两条边的夹角。
三角形[5] 周长的一半,是三条边的长度。
等边三角形 是等边三角形的边长。
等腰三角形 是腰边,是底边。
正方形[1] 是正方形的边长。
长方形[1] 分别是长方形的长和宽。
菱形鹞形 分别是 菱形/鹞形 的两条对角线
菱形 是边长,是邻边的夹角。
平行四边形 是底,是高。
平行四边形 是一对邻边,而是这对邻边的夹角。
梯形 是平行的边,是平行的边之间的高。
凸四边形 是凸四边形两条对角线长度是对角线的夹角。
正五边形 是正五边形的边长。
正六边形 是正六边形的边长。
正七边形 是正七边形的边长。
正八边形 是正八边形的边长。
正八边形 是正八边形的边长。
正九边形 是正九边形的边长。
正十边形 是正十边形的边长。
正多边形 是边长而是边数量。
正多边形 是周长是边数量。
正多边形 外切圆的半径,内切圆的半径,而是边数量。
正多边形 边心距,或称作内切圆的半径,而是多边形的周长。
圆形 是半径,是直径。
扇形 分别是半径和角度。
椭圆形[1] 分别是半长轴半短轴
圆柱体表面面积 分别是半径和直径。
圆柱体侧表面面积 分别是半径和直径。
球体表面面积 分别是半径和直径。
锥体表面面积[6] 是底面积,是底周长而,是斜高。
锥体平截头体的表面面积[6] 是底面积,是底周长,是斜高。
正方形转换成圆形段面积 是正方形面积。
圆形转换成正方形后面积 是圆形面积。
勒洛三角形 是勒洛三角形内三角形的边。

单位列表[编辑]

主要单位[编辑]

面积的测量单位主要包括:

市制:

  • ——10丈 × 6丈 ——33.33米 × 20米 ——666.67平方米
  • 平方市里——0.25平方公里
  • 平方市尺——1/9平方米

台制:

  • ——9,699.173平方公尺
  • ——3.3058平方公尺

香港:

  • 平方呎(平方英尺)——929平方厘米

换算[编辑]

名称 符号 定义 平方公尺的换算
平方佑公尺、平方尧米 Ym² 边长为1佑公尺(尧米)的正方形的面积 1048
平方皆公尺、平方泽米 Zm² 边长为1皆公尺(泽米)的正方形的面积 1042
平方艾公尺 Em² 边长为1艾公尺的正方形的面积 1036
平方拍公尺 Pm² 边长为1拍公尺的正方形的面积 1030
平方兆公尺、平方太米 Tm² 边长为1兆公尺(太米)的正方形的面积 1024
平方吉公尺 Gm² 边长为1吉公尺的正方形的面积 1018
平方百万公尺、平方兆米 Mm² 边长为1百万公尺(兆米)的正方形的面积 1012
平方公里、平方千米 km² 边长为1公里(千米)的正方形的面积 106
平方公引、平方百米 hm² 边长为1公引(百米)的正方形的面积 104
平方公丈、平方十米 dam² 边长为1公丈(十米)的正方形的面积 102
平方公尺、平方米 边长为1公尺(米)的正方形的面积 1
平方公寸、平方分米 dm² 边长为1公寸(分米)的正方形的面积 10-2
平方公分、平方厘米 cm² 边长为1公分(厘米)的正方形的面积 10-4
平方公厘、平方毫米 mm² 边长为1公厘(毫米)的正方形的面积 10-6
平方微米 cm² 边长为1微米的正方形的面积 10-12
平方奈米、平方纳米 nm² 边长为1奈米(纳米)的正方形的面积 10-18
平方皮米 pm² 边长为1皮米的正方形的面积 10-24
平方飞米 fm² 边长为1飞米的正方形的面积 10-30
平方阿米 am² 边长为1阿米的正方形的面积 10-36
平方介米、平方仄米 zm² 边长为1介米(仄米)的正方形的面积 10-42
平方攸米、平方幺米 ym² 边长为1攸米(幺米)的正方形的面积 10-48

严格定义[编辑]

其中一个定义面积的方法是利用公理定义。面积可以定义为一个由所有(可测)平面图形组成的集合M映射至实数的函数a,并满足以下条件:

  • 对于所有,有
  • ,则,且
  • ,则,且
  • 全等于,则,且
  • 任一矩形均属于。若矩形的长为而宽为,则
  • 为一平面图形。若存在唯一的实数,使得所有满足的有限个矩形的联集(finite union of rectangles)均有,则,且

可以证明,满足上述条件的函数存在。 [7]

脚注[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Area Formulas. Math.com. [2 July 2012]. 
  2. ^ mathdb.org - http://www.mathdb.org/competition/essay/0708/entries/senior_bronze_2.pdf
  3. ^ Euclid's Elements Book VI Proposition 1. [2014-12-30]. 
  4. ^ Braden, Bart. The Surveyor's Area Formula (PDF). The College Mathematics Journal. September 1986, 17 (4): 326–337 [15 July 2012]. doi:10.2307/2686282. 
  5. ^ 5.0 5.1 Eric W. Weisstein. Area. Wolfram MathWorld. [3 July 2012]. 
  6. ^ 6.0 6.1 Eric W. Weisstein. Surface Area. Wolfram MathWorld. [3 July 2012]. 
  7. ^ Moise, Edwin. Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison-Wesley Pub. Co. 1963 [15 July 2012]. 

外部链接[编辑]