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二元小波转换(Dyadic Wavelet Transform)是缩放以二的级数为基底且取样过后的小波转换,但没有时间取样。
的二元小波转换的定义为:
![{\displaystyle Wf(u,2^{i})=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\frac {1}{\sqrt {2^{i}}}}\psi ({\frac {t-u}{2^{i}}})\mathrm {d} t=f*{\bar {\psi }}_{2^{i}}(u)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2511d4747e16beaad69af094de9bc47b8563c46a)
- 其中
![{\displaystyle {\bar {\psi }}_{2^{i}}=\psi _{2^{i}}(-t)={\frac {1}{\sqrt {2^{i}}}}\psi ({\frac {-t}{2^{i}}})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724850f4a4cb8c062bcb22b27efab53e70a2d866)
它也定义了一个稳定(stable)、完整(complete)的表示式,如果它的Heisenberg boxes囊括了所有的频率轴,也就是存在一个
和
使得
![{\displaystyle \forall \omega \in \mathbb {R} ,\mathrm {A} \leqslant \sum _{i=-\infty }^{\infty }\left|{\hat {\psi (2^{i}u)}}\right|^{2}\leqslant \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522e040a29be84633d6ee9aa35f5c27e37dc9ff4)
所有的二元小波都是
的 frame (Frames are a stable, possibly redundant, representation of signals.)。
快速二元小波转换 (Fast Dyadic Wavelet Transform, FDWT) 使用与快速小波转换(Fast Wavelet Transform)相同的滤波器进行转换,但是差别在于不需要再进行次采样(subsampling),时常用在撷取音乐讯号的Onset。
参考资料[编辑]