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二元小波轉換(Dyadic Wavelet Transform)是縮放以二的級數為基底且取樣過後的小波轉換,但沒有時間取樣。
的二元小波轉換的定義為:
![{\displaystyle Wf(u,2^{i})=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\frac {1}{\sqrt {2^{i}}}}\psi ({\frac {t-u}{2^{i}}})\mathrm {d} t=f*{\bar {\psi }}_{2^{i}}(u)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2511d4747e16beaad69af094de9bc47b8563c46a)
- 其中
![{\displaystyle {\bar {\psi }}_{2^{i}}=\psi _{2^{i}}(-t)={\frac {1}{\sqrt {2^{i}}}}\psi ({\frac {-t}{2^{i}}})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724850f4a4cb8c062bcb22b27efab53e70a2d866)
它也定義了一個穩定(stable)、完整(complete)的表示式,如果它的Heisenberg boxes囊括了所有的頻率軸,也就是存在一個
和
使得
![{\displaystyle \forall \omega \in \mathbb {R} ,\mathrm {A} \leqslant \sum _{i=-\infty }^{\infty }\left|{\hat {\psi (2^{i}u)}}\right|^{2}\leqslant \mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/522e040a29be84633d6ee9aa35f5c27e37dc9ff4)
所有的二元小波都是
的 frame (Frames are a stable, possibly redundant, representation of signals.)。
快速二元小波轉換 (Fast Dyadic Wavelet Transform, FDWT) 使用與快速小波轉換(Fast Wavelet Transform)相同的濾波器進行轉換,但是差別在於不需要再進行次採樣(subsampling),時常用在擷取音樂訊號的Onset。
參考資料[編輯]