岩泽分解

数学中，半单李群的岩泽分解 KAN 推广了实方阵能写成一个正交矩阵和上三角矩阵的乘积（格拉姆-施密特正交化之推论）。以创立者日本数学家岩泽健吉命名。

定义

G 是一个连通半单实李群。
${\mathfrak {g}}_{0}$ 是 G 的李代数。
${\mathfrak {g}}$ 是 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 的复化。
θ 是 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 的一个嘉当对合。
${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}$ 是相应的嘉当分解。
${\mathfrak {a}}_{0}$ 是 ${\mathfrak {p}}_{0}$ 的一个极大阿贝尔子空间。
Σ 是 ${\mathfrak {a}}_{0}$ 的限定根，对应于 ${\mathfrak {a}}_{0}$ 作用在 ${\mathfrak {g}}_{0}$ 上的特征值。
Σ⁺ 是 Σ 的正根。
${\mathfrak {n}}_{0}$ 是由 Σ⁺ 的根空间的和给出的幂零李代数。
K,A, N 分别是由 ${\mathfrak {k}}_{0},{\mathfrak {a}}_{0}$ 和 ${\mathfrak {n}}_{0}$ 生成的子群。

那么， ${\mathfrak {g}}_{0}$ 的岩泽分解为

{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}+{\mathfrak {a}}_{0}+{\mathfrak {n}}_{0}

，

G 的岩泽分解为：

G=KAN

A （或等价的 ${\mathfrak {a}}_{0}$ ）的维数称为 G的实秩。

岩泽分解对一些不连通半单李群G 也成立，此时 K 为（不连通）极大紧子群并假定 G 的中心有限。

如果 G=GL_n(R)，那么可取 K 为正交矩阵，A 为正对角矩阵，N 为幂幺群（对角元全1的上三角矩阵）。

Fedenko, A.S.; Shtern, A.I., I/i053060, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
A. W. Knapp, Structure theory of semisimple Lie groups, in ISBN 0-8218-0609-2: Representation Theory and Automorphic Forms: Instructional Conference, International Centre for Mathematical Sciences, March 1996, Edinburgh, Scotland (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics) by T. N. Bailey (Editor), Anthony W. Knapp (Editor)

岩泽健吉，On some types of topological groups. Annals of Mathematics (2) 50, (1949), 507–558.