跳转到内容

第一价格密封拍卖

维基百科,自由的百科全书

第一价格密封拍卖(英语:FPSBA)是拍卖的一个常见类型,属于盲拍(英语:blind auction)的一种[1]。所有竞拍者同时提交密封的出价,没有人知道其他人的出价。出价最高者将以他们出的价格获得拍卖品。[2]:p2[3]

策略分析

[编辑]

在FPSBA中,每个出价者对拍卖品的估价是影响其出价的重要因素。

假设Alice是一位竞拍者,她的估价是a。那么,如果Alice是理性的,就有以下结论:

  • Alice不可能出大于a的价格,这样只会让她的净收益变为负数。
  • 如果Alice的出价恰好为a,那么她的净收益必定为零。
  • 如果Alice的出价小于a,她可能会获得正的净收益,但这取决于其他人是否出比她更高的价格。

Alice想要出一个能让她赢得拍卖品的最小价格,并且这个价格小于a。例如,如果有另一个竞拍者Bob,他的出价满足,那么Alice就会出价(其中是她最低可以加的价格,例如1分钱)。

然而,Alice无从知晓其他竞拍者出的价,她更不知道其他人的估价如何。所以,这是一个贝叶斯博弈——每个参与者无法完全得知其他参与者的收益函数。

即使只有两位参与者,要求得这类博弈的纳什均衡也不容易。一个简化的情形是,所有参与者的估价是独立同分布的,即所有参与者的估价都满足同一个概率分布[4]:234–236

举例

[编辑]

设两个竞拍者Alice和Bob的估价分别是ab,且这两个值满足[0,1]上的连续型均匀分布。那么,这个贝叶斯博弈的纳什均衡为每个竞拍者都选择自己估价的一半:Alice出价,Bob出价

证明:以下从Alice的角度讨论。假定她已知Bob的出价是,但她不知道等于多少,我们来求Alice的最佳策略。假设Alice出价,那么有两种情况:

  • ,此时Alice赢得拍卖品,净收益是。这种情况发生的概率是
  • ,此时Alice未赢得拍卖品,净收益为0。这种情况发生的概率是

因此,Alice的预期收益是。当时预期收益取到最大值,其中为:

当Alice的出价满足以下条件时导数为零:

现在,因为纳什均衡显然是对称的,Alice的出价也等于。于是有:

解得

一般情形

[编辑]

考虑所有的FPSBA。记:

  • 为第位竞拍者的估价;
  • 为除第位竞拍者以外的最大估价,即

FPSBA有一个对称纳什均衡,即第位竞拍者出价[5]:33–40

与第二价格密封拍卖的比较

[编辑]

下表列出了FPSBA和第二价格密封拍卖(SPSBA)的共同点和不同点:

拍卖种类 第一价格 第二价格
胜出方 出价最高者 出价最高者
胜出方支出 出价最高的价格 出价第二高的价格
未胜出方支出 0 0
支配性策略 估价多少,出价多少
贝叶斯纳什均衡[6] 位参与者出价 位出价
拍卖商的收入[6]

拍卖商的收入是用上述样例计算的,其中每个参与者的估价独立均匀地随机分布在[0,1]中。不妨设

  • 在第一价格密封拍卖中,拍卖商获得两人出价中较大者,即
  • 在第二价格密封拍卖中,拍卖商获得两人估价中较小者,即

以上两种情况中,拍卖商的预期收入都是1/3。

两种拍卖的预期收入相同并不是一个巧合,而是因为它们是收益等价定理英语revenue equivalence的特例,在每个参与者估价都独立的情况下这条规则成立。如果估价不独立,则变为共同价值拍卖英语common value auction,此时拍卖商在第二价格密封拍卖中的收入大于第一价格密封拍卖。

参考文献 

[编辑]
  1. ^ Shor, Mikhael, "blind auction" Dictionary of Game Theory Terms. [2018-04-18]. (原始内容存档于2019-09-17). 
  2. ^ Krishna, Vijay, Auction Theory, San Diego, USA: Academic Press, 2002, ISBN 0-12-426297-X 
  3. ^ McAfee, Dinesh Satam; McMillan, Dinesh, Auctions and Bidding (PDF), Journal of Economic Literature 25 (2) (American Economic Association), 1987, 25 (2): 699–738June 1987 [2008-06-25], JSTOR 2726107, (原始内容存档 (PDF)于2018-11-28) 
  4. ^ Vazirani, Vijay V.; Nisan, Noam; Roughgarden, Tim; Tardos, Éva. Algorithmic Game Theory (PDF). Cambridge, UK: Cambridge University Press. 2007. ISBN 0-521-87282-0. 
  5. ^ Daron Acemoglu and Asu Ozdaglar. Networks Lectures 19-21: Incomplete Information: Bayesian Nash Equilibria, Auctions and Introduction to Social Learning. MIT. 2009 [8 October 2016]. (原始内容存档于2016-10-22). 
  6. ^ 6.0 6.1 假定有位参与者,他们的估价均为[0,1]之间的独立均匀随机分布

外部链接

[编辑]