阿布拉罕-洛伦兹力

阿布拉罕-洛伦兹力（Abraham-Lorentz force）是一加速带电粒子因为粒子放射出电磁辐射而所受到的平均力。其适用在粒子行进速度不快的时候。若在相对论性速度下，此力则称作是阿布拉罕-洛伦兹-狄拉克力（Abraham-Lorentz-Dirac force）。

阿布拉罕-洛伦兹力问题的解被认为预测了“来自于未来的讯号影响了现在”这样的结果，而挑战了直观上的因果律。试图解决此一问题的涉及到许多近代物理的领域，虽然Yaghjian曾展试过这问题的解实际上相当简单。

定义与描述

数学上，阿布拉罕-洛伦兹力可写为：

$\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {q^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} \,$ （SI单位制）
$\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} \,$ （cgs单位制）

其中：

F是力，

\mathbf {\dot {a}}

是加加速度（加速度的时间导数）。

μ₀ （页面存档备份，存于互联网档案馆）和ε₀ （页面存档备份，存于互联网档案馆）是真空磁导率和真空电容率，

c （页面存档备份，存于互联网档案馆）是真空中的光速，

q是电荷量。

当速度很慢时。根据拉莫尔方程，一加速电荷放出辐射，而辐射会将动量自电荷带走。既然动量是守恒的，电荷会被推往与辐射释放方向相反的方向。阿布拉罕-洛伦兹力即为因于辐射释放而施加在一加速电荷上的平均力。

背景

经典电动力学中，问题通常可以分为两类：

问题中，产生场的电荷与电流源已指定，要计算出场；
问题中，场已指定，要计算出电荷的运动。

在一些物理学领域中，如等离子体物理学，场由源产生，而源的运动可以自洽的解出。然而在这样的场合中，源的运动常是从所有其他的源产生的场来计算。很少去计算一粒子（源）所产生的场，对于同一粒子造成什么样的运动影响。理由有两个层次：

忽略“自身场（self-fields）”通常仍可得到足够精确的答案，足以用在许多应用上；
包含自身场会导致物理学中目前未解决的问题，关系到物质与能量的本质。

由自身场所衍生的概念问题在标准的研究生教科书有所着墨。（Jackson电动力学）

“

（译自原文）此一问题所引出的困难涉及到物理学中最重要的基本面貌之一──基本粒子的本质。虽然在一些设有限制的领域中，有部分可用的解已经给出，然则基本问题方面则仍旧未有解决。一些人可能希望从经典到量子处理方法上的过渡可以解决这样的难题。虽仍希望这件事终究会发生，不过当前量子力学方面的讨论甚至还遇上了比经典还要复杂得多的状况。在较近期的年代中（~ 1948年 - 1950年），所出现的成就之一是将洛伦兹协变性与规范不变性等概念巧妙地运用，在量子电动力学中回避了这些困难，而允许对于非常小的辐射效应做出计算，达到极高的精准度，并与实验结果相符。但若从基本观点来看，这样的难题依旧是存在的。

”

推导

我们从点电荷辐射的拉莫尔方程开始：

P={\frac {\mu _{0}q^{2}a^{2}}{6\pi c}}

.

如果我们假设带电粒子的运动是周期性的，则阿布拉罕-洛伦兹力对粒子所做的功等于拉莫功率从 $\tau _{1}$ 到 $\tau _{2}$ 的积分：

\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-Pdt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}a^{2}}{6\pi c}}dt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt

.

我们可以用分部积分法来计算以上的积分。如果我们假设运动是周期性的，则表达式的第一项为零：

\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}\cdot \mathbf {v} dt=-0+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} \cdot \mathbf {v} dt

因此，我们有：

\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}}

来自未来的讯号

下面展示了一种会导致惊人结果的经典分析方法。可以看到，经典理论正在挑战因果律的标准图景，表明要么因果律被破坏，要么理论需要扩展。在本例中，理论的扩展包括量子力学和它的相对论版本量子场论。参考Rohrlich关于“物理学理论遵循有效性限制的重要性”的介绍。^[1]

对于一个受到外力 $\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }$ ，我们有

m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=mt_{0}{\ddot {\mathbf {v} }}+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }

其中：

t_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}

公式经过整理后，可以得到：

m{\dot {\mathbf {v} }}={1 \over t_{0}}\int _{t}^{\infty }\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)\,\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }(t')\,dt'

这个积分从当前延续到无穷远的未来。因而未来的作用力将影响到粒子当前的加速度。未来的数值按以下因子加权：

\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)

随着未来超过 $t_{0}$ 时间的增长而迅速减小。因此，大概在未来 $t_{0}$ 时间段内的信号会影响到当前的加速度。对于电子来说，这个时间段大约是 $10^{-24}$ 秒，相当于光线穿越电子“尺寸”所需的时间。

参考文献

^ F. Rohrlich. The dynamics of a charged sphere and the electron (PDF). Am J Phys. 1997, 65 (11): 1051 [2015-05-09]. （原始内容存档 (PDF)于2014-02-22）. 。其中文字："The dynamics of point charges is an excellent example of the importance of obeying the validity limits of a physical theory. When these limits are exceeded the predictions of the theory may be incorrect or even patently absurd. In the present case, the classical equations of motion have their validity limits where quantum mechanics becomes important: they can no longer be trusted at distances of the order of (or below) the Compton wavelength… Only when all distances involved are in the classical domain is classical dynamics acceptable for electrons."

书目

Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics 3rd ed. Prentice Hall. 1998. ISBN 978-0-13-805326-0.
Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. 1998. ISBN 978-0-471-30932-1.
F. Rohrlich, Am. J. Phys. 65, 1051 (1997).

[Rohrlich-1] F. Rohrlich. The dynamics of a charged sphere and the electron (PDF). Am J Phys. 1997, 65 (11): 1051 [2015-05-09]. （原始内容存档 (PDF)于2014-02-22）. 。其中文字："The dynamics of point charges is an excellent example of the importance of obeying the validity limits of a physical theory. When these limits are exceeded the predictions of the theory may be incorrect or even patently absurd. In the present case, the classical equations of motion have their validity limits where quantum mechanics becomes important: they can no longer be trusted at distances of the order of (or below) the Compton wavelength… Only when all distances involved are in the classical domain is classical dynamics acceptable for electrons."

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推导

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