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Kalman–Yakubovich–Popov引理

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Kalman–Yakubovich–Popov引理(Kalman–Yakubovich–Popov lemma)是系统分析英语system analysis控制理论的结果,其中提到:给定一数,二个n维向量B, C,及n x n的赫维兹稳定矩阵 A(所有特征值的实部都为负值),若具有完全可控制性,则满足下式的对称矩阵P和向量Q

存在的充份必要条件是

而且,集合的不可观测子空间。

此引理可以视为是稳定性理论李亚普诺夫方程的推广。建构了由状态空间A, B, C建构的线性矩阵不等式以及其频域条件的关系。

Kalman–Popov–Yakubovich引理最早是在1962年由Vladimir Andreevich Yakubovich英语Vladimir Andreevich Yakubovich写出且证明[1],当时列的是严格的频率不等式。允许等于的不等式是由鲁道夫·卡尔曼在1963年提出[2]。在该文中也建立了Lur'e方程可解性的关系。两篇都是针对标量输入系统。其控制维度的限制是在1964年被Gantmakher和Yakubovich放宽的[3],而Vasile M. Popov英语Vasile Mihai Popov也独立得到相同结论[4]。在[5]中有针对此一主题的广泛探讨。

多变数Kalman–Yakubovich–Popov引理

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给定,其中 针对所有,且有可控制性,则以下的叙述是等价的:

  1. 针对所有
  2. 存在一矩阵使得

即使不具有可控制性,对应上式的严格不等式仍成立[6]

参考资料

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  1. ^ Yakubovich, Vladimir Andreevich. The Solution of Certain Matrix Inequalities in Automatic Control Theory. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1962, 143 (6): 1304–1307. 
  2. ^ Kalman, Rudolf E. Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences. 1963, 49 (2): 201–205 [2019-01-04]. PMC 299777可免费查阅. doi:10.1073/pnas.49.2.201. (原始内容存档 (PDF)于2015-09-24). 
  3. ^ Gantmakher, F.R. and Yakubovich, V.A.,. Absolute Stability of the Nonlinear Controllable Systems, Proc. II All-Union Conf. Theoretical Applied Mechanics. Moscow: Nauka. 1964. 
  4. ^ Popov, Vasile M. Hyperstability and Optimality of Automatic Systems with Several Control Functions. Rev. Roumaine Sci. Tech. 1964, 9 (4): 629–890. 
  5. ^ Gusev S. V. and Likhtarnikov A. L. Kalman-Popov-Yakubovich lemma and the S-procedure: A historical essay. Automation and Remote Control. 2006, 67 (11): 1768–1810. 
  6. ^ "Anders Rantzer". On the Kalman–Yakubovich–Popov lemma. Systems & Control Letters. 1996, 28 (1): 7–10. doi:10.1016/0167-6911(95)00063-1.