上同调环

代数拓扑中，拓扑空间X 的上同调环是由X的上同调群与上积组成的环。此处，“上同调”指奇异上同调，不过环结构也存在于德拉姆上同调等其他理论中。它也是函子式的：对于空间中的连续映射，可在上同调环上得到反变（contravariant）的环同态。

具体来说，给定X上的上同调群 $H^{k}(X;\ R)$ 序列，其系数在交换环R（一般是Z_n、Z、 Q、R、C）中，就可以定义上积：

H^{k}(X;R)\times H^{\ell }(X;R)\to H^{k+\ell }(X;R).

上积给出了上同调群

H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).

的直和的乘法，将 $H^{\bullet }(X;R)$ 变成了环。实际上，它自然是一个N次环，非负整数k为次数。上积保持分次不变。

上同调环是分次交换的，即上积与由分次定义的符号交换。具体地，对度为k、ℓ的纯元素，有

(\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).

上同调环衍生出的一个数值不变量是上积长（cup-length），即度数≥ 1、积不为零的分次元素的最大数目。例如，复射影空间的上积长等于其复维度。

例子

$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{n};\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ where $|\alpha |=1$ .
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {R} P^{\infty };\mathbb {F} _{2})=\mathbb {F} _{2}[\alpha ]$ where $|\alpha |=1$ .
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ where $|\alpha |=2$ .
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {C} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]$ where $|\alpha |=2$ .
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]/(\alpha ^{n+1})$ where $|\alpha |=4$ .
$\operatorname {H} ^{*}(\mathbb {H} P^{\infty };\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]$ where $|\alpha |=4$ .
据克奈定理，n份 $\mathbb {R} P^{\infty }$ 的笛卡尔积的模2上同调环是一个系数在 $\mathbb {F} _{2}$ 中的n变量多项式环。
楔和的退化上同调环是它们的退化上同调环的直积。
除了度为0的部分，悬挂（suspension）的上同调环为0。

Novikov, S. P. Topology I, General Survey. Springer-Verlag. 1996. ISBN 7-03-016673-6.