互质
外观
互质(英文:Coprime,符号:⊥,又称互素、relatively prime、mutually prime、co-prime)[1]。在数论中,如果两个或两个以上的整数的最大公因数是1,则称它们为互质[2]。依此定义:
两个整数a与b互质,记为a ⊥ b。
互质的例子
例如 8 与 10 的最大公因数是 2,不是 1,因此它们并不互质。
又例如 7, 10, 13 的最大公因数是 1,因此它们互质。
最大公因数可以通过辗转相除法得到。
整集互质与两两互质
三个或三个以上的整数互质有两种不同的情况:
- 这些整数是两两互质的(英语:pairwise coprime)。以 为例:
两两互质是较为严格的互质,如果一个整数集合是两两互质的,它也必定是整集互质,但是整集互质不必然是两两互质,甚至可能两两皆不互质,例如,是整集互质,但、、,任两者皆不互质。
性质
性质之一:整数a和b互质当且仅当存在整数x,y使得xa+yb=1。 或者,一般的,有存在整数x,y使得xa+yb=d,其中d是a和b的最大公因数。(贝祖等式)
判别方法
- 两个不同的质数一定互质。例如,2与7、13与19。
- 一个质数,另一个不为它的倍数,这两个数互质。例如,3与10、5与 26。
- 1和任何一个自然数都互质。如1和9908。
- 相邻两个自然数互质。如15与16。
- 相邻两个奇数互质。如49与51。
- 较大数是质数,则两个数互质。如97与88。
- 两数都是合数(二数差较大),较小数所有的质因数,都不是较大数的因数,这两个数互质。如357与715,357=3×7×17,而3、7和17都不是715的因数,故这两数互质。
- 两数都是合数(二数差较小),这两数之差的所有质因数都不是较小数的因数,这两个数互质。如85和78。85-78=7,7不是78的因数,故这两数互质。
- 两数都是合数,较大数除以较小数的余数(大于“1”)的所有质因数,都不是较小数的因数,则两数互质。如 462与 221,462÷221=2...20,20=2×2×5。2、5都不是221的因数,故这两数互质。
- 辗转相除法。如255与182。255-182=73,182-(73×2)=36,73-(36×2)=1,则(255,182)=1。故这两数互质。
参考来源
- ^ Eaton, James S. Treatise on Arithmetic. 1872. May be downloaded from: http://archive.org/details/atreatiseonarit05eatogoog
- ^ Number Theory in Science and Communication, p.28. [2014-10-19]. (原始内容存档于2014-10-19).
- ^ Wiktionary - coprime (页面存档备份,存于互联网档案馆) 以正整数为数域来定义互质。
- ^ ProofWiki > Definition:Coprime/Integers. [2014-10-19]. (原始内容存档于2020-03-27).
- ^ ProofWiki > Integers Coprime to Zero. [2014-10-19]. (原始内容存档于2020-03-27).
- ^ StackExchange > a problem with coprime numbers. [2014-10-19]. (原始内容存档于2020-09-21).
- ^ Algebra II: Chapters 4-7, p.14