奇异控制

最优控制中的奇异控制（singular control）是指一些不容易求解，无法利用庞特里亚金最小化原理求出完整解的问题。这类问题中只有少部份已有解答，例如金融经济学中的默顿的投资组合问题或是航空学中的轨迹最佳化问题。以下有进一步的技术说明。

应用庞特里亚金最小化原理时，最常见的困难点是当哈密顿量和控制 $u$有线性关系时，也就是$H(u)=\phi (x,\lambda ,t)u+\cdots$，而且控制有其上下限$a\leq u(t)\leq b$。为了使$H(u)$有最小值，需要尽可能的将$u$增加到最大，或是减少到最小，依$\phi (x,\lambda ,t)$的符号而异：

$u(t)={\begin{cases}b,&\phi (x,\lambda ,t)<0\\?,&\phi (x,\lambda ,t)=0\\a,&\phi (x,\lambda ,t)>0.\end{cases}}$

若$\phi$有时为正，有时为负，偶尔是0，则其解相当的直接，即为起停式控制，当$\phi$由负切到正时，控制由$b$切换到$a$。

若$\phi$在一段有限时间$t_{1}\leq t\leq t_{2}$内均为0，则称为奇异控制。在$t_{1}$和$t_{2}$之间，哈密顿量对$u$的最大化无法提供有关解的资讯，这段期间的解需要透过其他的资讯来求得。

（有一个作法是重复的将$\partial H/\partial u$对时间微分，直到有出现显式控制项为止，之后可以令该式为0，求解u。因此在时间 $t_{1}$ 和 $t_{2}$之间的控制 $u$ 会让奇异条件继续成立，可以用此方式来计算控制 $u$。所得的奇异弧（singular arc）若满足凯利条件（Kelley condition），奇异弧也会是最佳解：

$(-1)^{k}{\frac {\partial }{\partial u}}\left[{\left({\frac {d}{dt}}\right)}^{2k}H_{u}\right]\geq 0,\,k=0,1,\cdots$

。此条件也称为广义的Legendre-Clebsch条件）。

bang-singular控制是指控制中有起停式控制的成份，也有奇异控制的成份。