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弱*拓扑

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弱*拓扑赋范向量空间对偶空间上的一种拓扑。弱*拓扑的的重要性,在于它使得单位球紧集巴拿赫-阿劳格鲁定理);相反地在线性算子范数诱发的拓扑中,单位球未必紧致。(结果成立当且仅当赋范向量空间为有限维。)

定义

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在域)上的赋范空间中,每一个元素,都可以定义对偶空间上的一个线性算子。弱*拓扑是在上最弱的拓扑,使得所有这样的都是连续的。

弱*拓扑可以更具体的定义,在上给出它的邻域基:对任何,集合

其中,是的弱*开的邻域基。

收敛

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弱*拓扑的收敛条件很简单:序列在弱*拓扑中收敛,如果对任何都有,即逐点收敛。弱*收敛记作

弱*收敛性比依范数收敛性弱。如果,其中的范数,则必然逐点收敛于,因而有;但是,不一定有,甚至可能

半范数

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对偶空间加上弱*拓扑是一个局部凸空间,因此可以由给予一个半范数的系统定义弱*拓扑。对

,

构成这样一个半范数的系统。

参考

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K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968